Lösung von Zusatzaufgabe 6.2P (SoSe 13): Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Beweisen Sie: Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden.<br /> Dann gilt genau eine der folgenden Zwischenrelationen: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>. | + | Beweisen Sie: Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden.<br /> Dann gilt genau eine der folgenden Zwischenrelationen: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.<br /><br /> |
| + | '''Voraussetzung''': koll(A,B,C) mit A,B,C paarweise verschieden<br /><br /> | ||
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| + | '''Behauptung''': Zw(A,B,C) oder Zw(B,A,C), oder Zw(A,C,B)<br /><br /> | ||
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| + | 1) ∃g: A,B,C ∈ g<br /> | ||
| + | Begründung: Voraussetzung, Def. kollinear<br /><br /> | ||
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| + | 2) Strecke AC mit |AB| + |BC| = |AC| ∈ g<br /> | ||
| + | oder Strecke BC mit |BA| + |AC| = |BC| ∈ g<br /> | ||
| + | oder Strecke AB mit |AC| + |CB| = |AB| ∈ g<br /> | ||
| + | Begründung: (1); Def. Zwischen, Eigenschaft Gerade<br /><br /> | ||
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| + | 3) |AB| + |BC| = |AC| ≔ Zw(A,B,C)<br /> | ||
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| + | Begründung: (1); (2); q.e.d.<br />--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:16, 18. Jul. 2013 (CEST) | ||
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| + | * Das ist nur der erste TEil des Beweises und der ist eigentlich trivial, das muss nicht so deutlich aufgeschrieben werden. Entscheident ist dass es in der Dreiecksungleichung steht (Begründung!). Der zweite Teil ist wichtig: Beweise es gilt nur EINE Zwischenrelation. Tipp: Indirekter Beweis. Annahme: zwei Zwischenrelationen gelten. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 22:00, 18. Jul. 2013 (CEST) | ||
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Aktuelle Version vom 18. Juli 2013, 22:00 Uhr
Beweisen Sie: Es sei 
mit 
sind paarweise verschieden.
Dann gilt genau eine der folgenden Zwischenrelationen: 
oder 
oder 
.
Voraussetzung: koll(A,B,C) mit A,B,C paarweise verschieden
Behauptung: Zw(A,B,C) oder Zw(B,A,C), oder Zw(A,C,B)
1) ∃g: A,B,C ∈ g
Begründung: Voraussetzung, Def. kollinear
2) Strecke AC mit |AB| + |BC| = |AC| ∈ g
oder Strecke BC mit |BA| + |AC| = |BC| ∈ g
oder Strecke AB mit |AC| + |CB| = |AB| ∈ g
Begründung: (1); Def. Zwischen, Eigenschaft Gerade
3) |AB| + |BC| = |AC| ≔ Zw(A,B,C)
|BA| + |AC| = |BC| ≔ Zw(B,A,C)
|AC| + |CB| = |AB| ≔ Zw(A,C,B)
Begründung: (1); (2); q.e.d.
--Nolessonlearned 21:16, 18. Jul. 2013 (CEST)
- Das ist nur der erste TEil des Beweises und der ist eigentlich trivial, das muss nicht so deutlich aufgeschrieben werden. Entscheident ist dass es in der Dreiecksungleichung steht (Begründung!). Der zweite Teil ist wichtig: Beweise es gilt nur EINE Zwischenrelation. Tipp: Indirekter Beweis. Annahme: zwei Zwischenrelationen gelten. --Tutorin Anne 22:00, 18. Jul. 2013 (CEST)
