Lösung von Aufgabe 11.3: Unterschied zwischen den Versionen
Aus Geometrie-Wiki
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:Es ex. ein Strahl <math>\ AQ^+</math> mit <math>Q \in ABC^-</math> und <math>|\angle BAQ| = |\angle EDF|</math> bzw. <math>\angle BAQ \cong \angle EDF</math> (Begr.: Winkelkonstruktionsaxiom). | :Es ex. ein Strahl <math>\ AQ^+</math> mit <math>Q \in ABC^-</math> und <math>|\angle BAQ| = |\angle EDF|</math> bzw. <math>\angle BAQ \cong \angle EDF</math> (Begr.: Winkelkonstruktionsaxiom). | ||
− | :Es ex außerdem ein Punkt <math>\ P</math> mit <math>P \in AQ^+</math> und <math>\ |AP| = |DF|</math> bzw. <math>\overline{AP} \cong \overline{DF}</math> (Begr.: Axiom vom Lineal). | + | :Es ex. außerdem ein Punkt <math>\ P</math> mit <math>P \in AQ^+</math> und <math>\ |AP| = |DF|</math> bzw. <math>\overline{AP} \cong \overline{DF}</math> (Begr.: Axiom vom Lineal). |
:Wir haben nun also ein Dreieck <math>\overline{ABP}</math> konstruiert, dass kongruent zu <math>\overline{DEF}</math> ist. Denn es gilt ja <math>\overline{AB} \cong \overline{DE} \ \land \ \angle BAQ \cong \angle EDF \ \land \ \overline{AP} \cong \overline{DF}</math>. Jetzt genügt es zu zeigen, <math>\overline{ABC}</math> kongruent zu <math>\overline{ABP}</math> ist. Denn die Kongruenz ist transitiv, es würde daraus also auch <math>\overline{ABC} \cong \overline{DEF}</math> folgen. | :Wir haben nun also ein Dreieck <math>\overline{ABP}</math> konstruiert, dass kongruent zu <math>\overline{DEF}</math> ist. Denn es gilt ja <math>\overline{AB} \cong \overline{DE} \ \land \ \angle BAQ \cong \angle EDF \ \land \ \overline{AP} \cong \overline{DF}</math>. Jetzt genügt es zu zeigen, <math>\overline{ABC}</math> kongruent zu <math>\overline{ABP}</math> ist. Denn die Kongruenz ist transitiv, es würde daraus also auch <math>\overline{ABC} \cong \overline{DEF}</math> folgen. | ||
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:Dafür wiederum genügt es nach dem Kongruenzaxiom sws zu zeigen, dass <math>\overline{AC} \cong \overline{AP} \ \land \ \angle BAC \cong \angle BAP \ \land \ \overline{AB} \cong \overline{AB}</math>. | :Dafür wiederum genügt es nach dem Kongruenzaxiom sws zu zeigen, dass <math>\overline{AC} \cong \overline{AP} \ \land \ \angle BAC \cong \angle BAP \ \land \ \overline{AB} \cong \overline{AB}</math>. | ||
:Nach Vor. gilt <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>. | :Nach Vor. gilt <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>. | ||
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:Fürs weitere Vorgehen wieder eine kurze Feststellung, die eigentlich jeder sieht: | :Fürs weitere Vorgehen wieder eine kurze Feststellung, die eigentlich jeder sieht: | ||
:<math>\overline{DEF} \cong \overline{ABP} \ \Rightarrow \ \overline{EF} \cong \overline{BP}</math> | :<math>\overline{DEF} \cong \overline{ABP} \ \Rightarrow \ \overline{EF} \cong \overline{BP}</math> | ||
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:Ich gehe davon aus, dass der folgende Satz gilt, ohne ihn jetzt zu beweisen: | :Ich gehe davon aus, dass der folgende Satz gilt, ohne ihn jetzt zu beweisen: | ||
::Satz: Liegt ein Punkt <math>\ P</math> auf der Mittelsenkrechten <math>\ m</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math>, dann und nur dann hat er von <math>\ A</math> und <math>\ B</math> den gleichen Abstand. | ::Satz: Liegt ein Punkt <math>\ P</math> auf der Mittelsenkrechten <math>\ m</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math>, dann und nur dann hat er von <math>\ A</math> und <math>\ B</math> den gleichen Abstand. | ||
+ | :::''Nachtrag: Inzwischen haben wir ja das [[Der_Basiswinkelsatz#Satz_VII.6:_.28Mittelsenkrechtenkriterium.29|Mittelsenkrechtenkriterium]] gemacht, was genau das aussagt.'' | ||
:<math>\ A</math> hat ja nun den gleichen Abstand von <math>\ C</math> wie von <math>\ P</math>, also <math>\ |AC| = |AP|</math>. | :<math>\ A</math> hat ja nun den gleichen Abstand von <math>\ C</math> wie von <math>\ P</math>, also <math>\ |AC| = |AP|</math>. | ||
:Für <math>\ B</math> gilt Entsprechendes, also <math>\ |BC| = |BP|</math>. | :Für <math>\ B</math> gilt Entsprechendes, also <math>\ |BC| = |BP|</math>. | ||
:Nach dem Satz liegen also <math>\ A</math> und <math>\ B</math> auf der Mittelsenkrechten von <math>\overline{CP}</math>. Es ist sogar so, dass die Gerade <math>\ AB</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{CP}</math> ist (Begr.: irgendein Inzidenzaxiom). | :Nach dem Satz liegen also <math>\ A</math> und <math>\ B</math> auf der Mittelsenkrechten von <math>\overline{CP}</math>. Es ist sogar so, dass die Gerade <math>\ AB</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{CP}</math> ist (Begr.: irgendein Inzidenzaxiom). | ||
− | :Nach Def. der Mittelsenkrechten ist der Schnittpunkt <math>\ M</math> von <math>\ AB</math> und <math>\overline{CP}</math> der Mittelpunkt von <math>\overline{CP}</math>, d.h. <math>|CM| = |MP|</math> bzw. <math>\overline{CM} \cong \overline{MP}</math>. | + | :Nach Def. der Mittelsenkrechten ist der Schnittpunkt <math>\ M</math> von <math>\ AB</math> und <math>\overline{CP}</math> der Mittelpunkt von <math>\overline{CP}</math>, d.h. <math>\ |CM| = |MP|</math> bzw. <math>\overline{CM} \cong \overline{MP}</math>. |
:Nach Def. gilt außerdem <math>AB \perp \overline{CP}</math>, d.h. die entstehenden Winkel sind rechte Winkel. | :Nach Def. gilt außerdem <math>AB \perp \overline{CP}</math>, d.h. die entstehenden Winkel sind rechte Winkel. | ||
:Nun gilt nach Def. vom rechten Winkel, dass sie gleich groß sind bzw. damit auch kongruent, also <math>\angle AMC \cong \angle BMC \cong \angle BMP \cong \angle AMP</math>. | :Nun gilt nach Def. vom rechten Winkel, dass sie gleich groß sind bzw. damit auch kongruent, also <math>\angle AMC \cong \angle BMC \cong \angle BMP \cong \angle AMP</math>. | ||
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− | z.z.: | + | z.z.:<br /> |
− | + | <math>\angle CAM \equiv \angle BAC \ \land \ \angle MAP \equiv \angle BAP</math> | |
:Der Winkel <math>\angle CAM</math> besteht aus den Schenkeln <math>\ AC^+</math> und <math>\ AM^+</math>. Wir wissen aber, dass <math>\ M</math> auf <math>\ AB</math> liegt. Also ist <math>\ AM^+</math> identisch mit <math>\ AB^+</math>. Also auch <math>\angle CAM \equiv \angle CAB \equiv \angle BAC</math>. | :Der Winkel <math>\angle CAM</math> besteht aus den Schenkeln <math>\ AC^+</math> und <math>\ AM^+</math>. Wir wissen aber, dass <math>\ M</math> auf <math>\ AB</math> liegt. Also ist <math>\ AM^+</math> identisch mit <math>\ AB^+</math>. Also auch <math>\angle CAM \equiv \angle CAB \equiv \angle BAC</math>. | ||
:Entsprechendes gilt für <math>\angle MAP</math>, also <math>\angle MAP \equiv \angle BAP</math>. | :Entsprechendes gilt für <math>\angle MAP</math>, also <math>\angle MAP \equiv \angle BAP</math>. | ||
q.e.d. | q.e.d. | ||
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+ | = Lösung 2 = | ||
+ | Leider ist in der Skizze ein Punkt falsch bezeichnet, es muss natürlich <math>C_2</math> statt <math>C_3</math> heißen. | ||
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+ | Vor.: | ||
+ | :<math>\overline{AB_1C_1}, \overline{AB_2C_2},</math> | ||
+ | :<math>\overline{AB_1} \cong \overline{AB_2} \ \land \ \overline{AC_1} \cong \overline{AC_2} \ \land \ \overline{B_1C_1} \cong \overline{B_2C_2}</math> | ||
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+ | Beh.: | ||
+ | :<math>\overline{AB_1C_1} \cong \overline{AB_2C_2}</math> | ||
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+ | {| class="wikitable" | ||
+ | |- | ||
+ | | No. || Schritt || Begründung | ||
+ | |- | ||
+ | | 1a || Es existiert ein Punkt <math>C_2</math> für den gilt <math>\overline{AC_2} = \overline{AC_1},</math> ||Satz III.1: Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt. <math>A</math> ist Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{C_1C_2}</math> <br />Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) | ||
+ | |- | ||
+ | | 1b || Es existiert ein Punkt <math>B_2</math> für den gilt <math>\overline{AB_2} = \overline{AB_1},</math> ||Satz III.1: Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt. <math>A</math> ist Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{B_1B_2}</math> <br />Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) | ||
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+ | | 2 || <math>\alpha_1 \cong \alpha_2</math>|| Scheitelwinkel(*) | ||
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+ | | 3 || <math>\overline{AB_1C_1} \cong \overline{AB_2C_2}</math>|| Vor, (1) (2) SWS (*), Dreieckskongruenz | ||
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+ | <br /> | ||
+ | o.B.d.A. | ||
+ | <br /> | ||
+ | Diese Begründung kann analog an Punkt B, bzw. Punkt C durchgeführt werden, dann kann man die Kongruenz der Seiten <math>a</math> und <math>a_2</math> (aus Vss.) verwenden und erhält insgesamt vier kongruente Dreiecke. | ||
+ | <br /> | ||
+ | Die durch eine solche Konstruktion entstehenden kongruenten Dreiecke sind in der zweiten Skizze dargelegt. | ||
+ | <br />(*)Zu den Scheitelwinkeln: Hatten wir das schon bewiesen? | ||
+ | <br /> | ||
+ | Hier in Kurzform (man verzeihe die formlose Sprache, es seien natürlich die Winkel das Innere der Strahlen usw.: | ||
+ | * Vor: Es existieren am Schnittpunkt zweier Geraden <math>\alpha_1 \alpha_2 \delta_1 \delta_2 </math> | ||
+ | * Beh: <math>\alpha_1 \cong \alpha_2</math> | ||
+ | * Schritt 1a: <math>|\alpha_1| + |\delta_1| = 180 </math>, Axiom IV.4: (Supplementaxiom): Nebenwinkel an <math>B_1B_2</math> sind supplementär. | ||
+ | * Schritt 1b: <math>|\alpha_1| + |\delta_2| = 180 </math>, Axiom IV.4: (Supplementaxiom): Nebenwinkel an <math>C_1C_2</math>sind supplementär. | ||
+ | * Schritt 1c: <math>|\alpha_2| + |\delta_2| = 180 </math> analog zu 1a | ||
+ | * Schritt 1d: <math>|\alpha_2| + |\delta_1| = 180 </math> analog zu 1b | ||
+ | * Schritt 2: Algebraische Umformung | ||
+ | **<math>|\alpha_2| + |\delta_2| = 180 </math> | ||
+ | **<math>|\alpha_2| = 180 - |\delta_2|</math> | ||
+ | **<math>|\alpha_1| + |\delta_2| = 180 </math> | ||
+ | **<math>|\alpha_1| = 180 - |\delta_2|</math> | ||
+ | * Schritt 3: <math>|\alpha_1| = |\alpha_2|</math> | ||
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+ | [[Bild:Geo_Übung_11_3.png|600px]]<br /> | ||
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+ | [[Bild:Geo_Übung_11_3_Hilfskonstr.png|600px]]<br /> | ||
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+ | --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 14:07, 7. Jul. 2010 (UTC) |
Aktuelle Version vom 11. Juli 2010, 21:29 Uhr
Beweisen Sie den Kongruenzsatz SSS.
Lösung 1
Vor.:
Beh.:
Bew.:
- Es ex. ein Strahl
mit
und
bzw.
(Begr.: Winkelkonstruktionsaxiom).
- Es ex. außerdem ein Punkt
mit
und
bzw.
(Begr.: Axiom vom Lineal).
- Wir haben nun also ein Dreieck
konstruiert, dass kongruent zu
ist. Denn es gilt ja
. Jetzt genügt es zu zeigen,
kongruent zu
ist. Denn die Kongruenz ist transitiv, es würde daraus also auch
folgen.
z.z.:
- Dafür wiederum genügt es nach dem Kongruenzaxiom sws zu zeigen, dass
.
- Nach Vor. gilt
.
(Begr.: Transitivität, eigentlich fast trivial)
- Kongruenz ist reflexiv, also ist auch klar, dass
gilt.
- Also bleibt nun noch
z.z.:
- Fürs weitere Vorgehen wieder eine kurze Feststellung, die eigentlich jeder sieht:
(Vor.)
- Ich gehe davon aus, dass der folgende Satz gilt, ohne ihn jetzt zu beweisen:
- Satz: Liegt ein Punkt
auf der Mittelsenkrechten
der Strecke
, dann und nur dann hat er von
und
den gleichen Abstand.
- Nachtrag: Inzwischen haben wir ja das Mittelsenkrechtenkriterium gemacht, was genau das aussagt.
- Satz: Liegt ein Punkt
hat ja nun den gleichen Abstand von
wie von
, also
.
- Für
gilt Entsprechendes, also
.
- Nach dem Satz liegen also
und
auf der Mittelsenkrechten von
. Es ist sogar so, dass die Gerade
die Mittelsenkrechte von
ist (Begr.: irgendein Inzidenzaxiom).
- Nach Def. der Mittelsenkrechten ist der Schnittpunkt
von
und
der Mittelpunkt von
, d.h.
bzw.
.
- Nach Def. gilt außerdem
, d.h. die entstehenden Winkel sind rechte Winkel.
- Nun gilt nach Def. vom rechten Winkel, dass sie gleich groß sind bzw. damit auch kongruent, also
.
- Mit dieser Winkelkongruenz sind wir nur noch wenige Schritte vom Ziel entfernt.
- Wegen des Kongruenzaxioms sws wissen wir nun, dass die Dreiecke
und
kongruent sind, denn es gilt:
.
- Nach der Def. der Dreieckskongruenz sind dann auch die Winkel
und
kongruent.
- Jetzt sieht es jeder, aber der Vollständigkeit halber sollte man noch zeigen, dass diese Winkel die gleichen sind wie die, die wir vorhin schon gemeint haben.
z.z.:
- Der Winkel
besteht aus den Schenkeln
und
. Wir wissen aber, dass
auf
liegt. Also ist
identisch mit
. Also auch
.
- Entsprechendes gilt für
, also
.
q.e.d.
Lösung 2
Leider ist in der Skizze ein Punkt falsch bezeichnet, es muss natürlich statt
heißen.
Vor.:
Beh.:
No. | Schritt | Begründung |
1a | Es existiert ein Punkt ![]() ![]() |
Satz III.1: Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt. ![]() ![]() Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) |
1b | Es existiert ein Punkt ![]() ![]() |
Satz III.1: Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt. ![]() ![]() Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) |
2 | ![]() |
Scheitelwinkel(*) |
3 | ![]() |
Vor, (1) (2) SWS (*), Dreieckskongruenz |
o.B.d.A.
Diese Begründung kann analog an Punkt B, bzw. Punkt C durchgeführt werden, dann kann man die Kongruenz der Seiten und
(aus Vss.) verwenden und erhält insgesamt vier kongruente Dreiecke.
Die durch eine solche Konstruktion entstehenden kongruenten Dreiecke sind in der zweiten Skizze dargelegt.
(*)Zu den Scheitelwinkeln: Hatten wir das schon bewiesen?
Hier in Kurzform (man verzeihe die formlose Sprache, es seien natürlich die Winkel das Innere der Strahlen usw.:
- Vor: Es existieren am Schnittpunkt zweier Geraden
- Beh:
- Schritt 1a:
, Axiom IV.4: (Supplementaxiom): Nebenwinkel an
sind supplementär.
- Schritt 1b:
, Axiom IV.4: (Supplementaxiom): Nebenwinkel an
sind supplementär.
- Schritt 1c:
analog zu 1a
- Schritt 1d:
analog zu 1b
- Schritt 2: Algebraische Umformung
- Schritt 3:
--Heinzvaneugen 14:07, 7. Jul. 2010 (UTC)