Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes: Unterschied zwischen den Versionen
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===== Definition X.1: (Stufenwinkel) ===== | ===== Definition X.1: (Stufenwinkel) ===== | ||
+ | Die Winkel <pq und <rs heißen Stufenwinkel, falls ein Schenkel r des einen Winkels eine Teilmenge des Schenkels p des anderen Winkels ist. Die anderen beiden Schenkel g und s mögen in einer Halbebene bezüglich der Geraden g liegen, die durch die Schenkel p und r gegeben ist. | ||
+ | --[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:55, 17. Jul. 2010 (UTC) | ||
+ | <br /><br />Ich glaube du meinst "... Die anderen beiden Schenkel '''q''' und s...". Und vielleicht ist es besser den letzten Teil so zu formulieren: "...bezüglich der Geraden g liegen, von welcher Strahl p eine Teilmenge ist." Klar ist diese Gerade durch die beiden Schenkel gegeben, aber es reicht ja auch einer und ich glaube die "Teilmengen-Formulierung" wäre mathematischer. Aber vielleicht ist das auch unnötige Erbsenzählerei meinerseits ;-) !?! --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 19:49, 23. Jul. 2010 (UTC) | ||
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===== Definition X.2: (Wechselwinkel) ===== | ===== Definition X.2: (Wechselwinkel) ===== | ||
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+ | Zwei Winkel <pq und <rs heißen Wechselwinkel, falls der Scheitelwinkel des Winkels <pq und der Winkel <rs Stufenwinkel sind. | ||
+ | --[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:57, 17. Jul. 2010 (UTC) | ||
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===== Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel) ===== | ===== Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel) ===== | ||
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[[ Lösung von Aufgabe 12.5]] | [[ Lösung von Aufgabe 12.5]] | ||
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===== Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) ===== | ===== Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) ===== | ||
::Es seien <math>\ a</math> und <math>\ b</math> zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade <math>\ c</math> jeweils geschnitten werden. Es seien ferner <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von <math>\ c</math> mit <math>\ a</math> und <math>\ b</math> entstehen mögen. <br /> | ::Es seien <math>\ a</math> und <math>\ b</math> zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade <math>\ c</math> jeweils geschnitten werden. Es seien ferner <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von <math>\ c</math> mit <math>\ a</math> und <math>\ b</math> entstehen mögen. <br /> | ||
− | ::Wenn die beiden Stufenwinkel \ \alpha und \ \beta kongruent zueinander sind, dann | + | ::Wenn die beiden Stufenwinkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> parallel zueinander. |
+ | ===== Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) ===== | ||
+ | Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade <math>\ c</math> möge <math>\ a</math> in dem Punkt<math> \ A</math> und die Gerade <math>\ b</math> in dem Punkt <math>\ B</math> schneiden. <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> sei ein Paar von Stufenwinkeln , welches bei dem Schnitt von <math>\ a</math> und <math>\ b</math> mit <math>\ c</math> entstehen möge. | ||
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+ | <u>Voraussetzung:</u> | ||
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+ | (i) <math>\ \alpha \cong \beta</math> | ||
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+ | [[Bild:Umkehrung_stufenwinkelsatz_01.png|400 px]] | ||
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+ | <u>Behauptung:</u> | ||
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+ | <math>\ a \| b</math> | ||
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+ | <u>Annahme:</u> | ||
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+ | <math>a\not\| b</math> | ||
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+ | Unter Berücksichtigung von <math>a \not\equiv b</math> hätten die beiden Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> entsprechend der Annahme genau einen Punkt <math>\ C</math> gemeinsam. | ||
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+ | [[Bild:Umkehrung_stufenwinkelsatz_02.png|400 px]] | ||
+ | |||
+ | Bezüglich des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> ist <math>\ \beta</math> nun ein Außenwinkel. | ||
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+ | Der Winkel <math>\ \alpha</math> ist bezüglich <math>\ \beta</math> ein nichtanliegender Innenwinkel des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>. | ||
+ | |||
+ | Nach dem [[Der_schwache_Außenwinkelsatz|schwachen Außenwinkelsatz]] ist jetzt <math>\ \ beta</math> größer als <math>\ \ alpha</math>. Das ist allerdings ein Widerspruch zu (i): <math>\ \alpha \cong \beta</math>. |
Aktuelle Version vom 23. Juli 2010, 21:49 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel
In welchen Fällen handelt es sich um....
- Stufenwinkel
- Wechselwinkel
- entgegengesetzt liegende Winkel?
Definition X.1: (Stufenwinkel)
Die Winkel <pq und <rs heißen Stufenwinkel, falls ein Schenkel r des einen Winkels eine Teilmenge des Schenkels p des anderen Winkels ist. Die anderen beiden Schenkel g und s mögen in einer Halbebene bezüglich der Geraden g liegen, die durch die Schenkel p und r gegeben ist.
---mogli- 15:55, 17. Jul. 2010 (UTC)
Ich glaube du meinst "... Die anderen beiden Schenkel q und s...". Und vielleicht ist es besser den letzten Teil so zu formulieren: "...bezüglich der Geraden g liegen, von welcher Strahl p eine Teilmenge ist." Klar ist diese Gerade durch die beiden Schenkel gegeben, aber es reicht ja auch einer und ich glaube die "Teilmengen-Formulierung" wäre mathematischer. Aber vielleicht ist das auch unnötige Erbsenzählerei meinerseits ;-) !?! --Barbarossa 19:49, 23. Jul. 2010 (UTC)
Definition X.2: (Wechselwinkel)
Zwei Winkel <pq und <rs heißen Wechselwinkel, falls der Scheitelwinkel des Winkels <pq und der Winkel <rs Stufenwinkel sind. ---mogli- 15:57, 17. Jul. 2010 (UTC)
Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel)
Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes
Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes)
- Es seien
und
zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade
jeweils geschnitten werden. Es seien ferner
und
zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von
mit
und
entstehen mögen.
- Wenn die beiden Stufenwinkel
und
kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden
und
parallel zueinander.
- Es seien
Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes)
Es seien und
drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade
möge
in dem Punkt
und die Gerade
in dem Punkt
schneiden.
und
sei ein Paar von Stufenwinkeln , welches bei dem Schnitt von
und
mit
entstehen möge.
Voraussetzung:
(i)
Behauptung:
Annahme:
Unter Berücksichtigung von hätten die beiden Geraden
und
entsprechend der Annahme genau einen Punkt
gemeinsam.
Bezüglich des Dreiecks ist
nun ein Außenwinkel.
Der Winkel ist bezüglich
ein nichtanliegender Innenwinkel des Dreiecks
.
Nach dem schwachen Außenwinkelsatz ist jetzt größer als
. Das ist allerdings ein Widerspruch zu (i):
.