Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes

Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel

In welchen Fällen handelt es sich um....

Stufenwinkel

Wechselwinkel

entgegengesetzt liegende Winkel?

Definition X.1: (Stufenwinkel)

Die Winkel <pq und <rs heißen Stufenwinkel, falls ein Schenkel r des einen Winkels eine Teilmenge des Schenkels p des anderen Winkels ist. Die anderen beiden Schenkel g und s mögen in einer Halbebene bezüglich der Geraden g liegen, die durch die Schenkel p und r gegeben ist. ---mogli- 15:55, 17. Jul. 2010 (UTC)

Ich glaube du meinst "... Die anderen beiden Schenkel q und s...". Und vielleicht ist es besser den letzten Teil so zu formulieren: "...bezüglich der Geraden g liegen, von welcher Strahl p eine Teilmenge ist." Klar ist diese Gerade durch die beiden Schenkel gegeben, aber es reicht ja auch einer und ich glaube die "Teilmengen-Formulierung" wäre mathematischer. Aber vielleicht ist das auch unnötige Erbsenzählerei meinerseits ;-) !?! --Barbarossa 19:49, 23. Jul. 2010 (UTC)

Definition X.2: (Wechselwinkel)

Zwei Winkel <pq und <rs heißen Wechselwinkel, falls der Scheitelwinkel des Winkels <pq und der Winkel <rs Stufenwinkel sind. ---mogli- 15:57, 17. Jul. 2010 (UTC)

Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel)

Lösung von Aufgabe 12.5

Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes

Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes)

Es seien $\ a$ und $\ b$ zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade $\ c$ jeweils geschnitten werden. Es seien ferner $\ \alpha$ und $\ \beta$ zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von $\ c$ mit $\ a$ und $\ b$ entstehen mögen.

Wenn die beiden Stufenwinkel $\ \alpha$ und $\ \beta$ kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden $\ a$ und $\ b$ parallel zueinander.

Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes)

Es seien $\ a, b$ und $\ c$ drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade $\ c$ möge $\ a$ in dem Punkt$\ A$ und die Gerade $\ b$ in dem Punkt $\ B$ schneiden. $\ \alpha$ und $\ \beta$ sei ein Paar von Stufenwinkeln , welches bei dem Schnitt von $\ a$ und $\ b$ mit $\ c$ entstehen möge.

Voraussetzung:

(i) $\ \alpha \cong \beta$

Behauptung:

$\ a \| b$

Annahme:

$a\not\| b$

Unter Berücksichtigung von $a \not\equiv b$ hätten die beiden Geraden $\ a$ und $\ b$ entsprechend der Annahme genau einen Punkt $\ C$ gemeinsam.

Bezüglich des Dreiecks $\overline{ABC}$ ist $\ \beta$ nun ein Außenwinkel.

Der Winkel $\ \alpha$ ist bezüglich $\ \beta$ ein nichtanliegender Innenwinkel des Dreiecks $\overline{ABC}$.

Nach dem schwachen Außenwinkelsatz ist jetzt $\ \ beta$ größer als $\ \ alpha$. Das ist allerdings ein Widerspruch zu (i): $\ \alpha \cong \beta$.