Lösung von Aufgabe 4.2 (WS 16/17): Unterschied zwischen den Versionen

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'''a) Welcher Beweis ist korrekt?''' Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)<br /><br />
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Beweis 1)
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Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />
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Vor: |AC|< |BC|  < |AB|. <br />
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Beh:  |α|  ≠ |β|<br />
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Bew: Da nach Voraussetzung |AC|  ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α|  ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.
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Beweis 2)
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Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />
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Vor:  |AC|< |BC|  < |AB|. <br />
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Beh:  |α|  ≠ |β|<br />
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Bew:  Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt:  Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also:  Wenn  |AC|  ≠ |BC|  dann gilt |α|  ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC|  ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α|  ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.<br /><br />
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b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />
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Aktuelle Version vom 9. November 2016, 20:42 Uhr

Satz: In einem Dreieck \overline{ABC} mit \left|AC\right|< \left|BC\right| < \left|AB\right| sind die Winkel \alpha und \beta nicht kongruent zueinander.

Inhaltsverzeichnis

a) Welcher Beweis ist korrekt?

Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)

Beweis 1

Sei \overline{ABC} ein Dreieck.

Voraussetzung
\left|AC\right| < \left|BC\right| < \left|AB\right|.
Behauptung
\left|\alpha\right| \neq \left|\beta\right|
Beweis

Da nach Voraussetzung \left|AC\right| \neq \left|BC\right| gilt, folgt nach dem Basiswinkelsatz \left|\alpha\right| \neq \left|\beta\right|.

Damit ist der Satz bewiesen.

Beweis 2

Sei \overline{ABC} ein Dreieck.

Voraussetzung
\left|AC\right|< \left|BC\right| < \left|AB\right|.
Behauptung
\left|\alpha\right| \neq \left|\beta\right|
Beweis

Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn \left|\alpha\right|= \left|\beta\right| dann gilt \left|AC\right|= \left|BC\right|.

Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn \left|AC\right| \neq \left|BC\right| dann gilt \left|\alpha\right| \neq \left|\beta\right|.

Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen.

Da nach Voraussetzung gilt: \left|AC\right| < \left|BC\right|, d.h. \left|AC\right| \neq \left|BC\right|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: \left|\alpha\right| \neq \left|\beta\right|.

Damit ist der Satz bewiesen.

b) Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch

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