Lösung von Aufgabe 4.2 (WS 16/17)

Satz: In einem Dreieck $\overline{ABC}$ mit $\left|AC\right|< \left|BC\right| < \left|AB\right|$ sind die Winkel $\alpha$ und $\beta$ nicht kongruent zueinander.

a) Welcher Beweis ist korrekt?

Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)

Beweis 1

Sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck.

Voraussetzung

$\left|AC\right| < \left|BC\right| < \left|AB\right|$.

Behauptung

$\left|\alpha\right| \neq \left|\beta\right|$

Beweis

Da nach Voraussetzung $\left|AC\right| \neq \left|BC\right|$ gilt, folgt nach dem Basiswinkelsatz $\left|\alpha\right| \neq \left|\beta\right|$.

Damit ist der Satz bewiesen.

Beweis 2

Sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck.

Voraussetzung

$\left|AC\right|< \left|BC\right| < \left|AB\right|$.

Behauptung

$\left|\alpha\right| \neq \left|\beta\right|$

Beweis

Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn $\left|\alpha\right|= \left|\beta\right|$ dann gilt $\left|AC\right|= \left|BC\right|$.

Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn $\left|AC\right| \neq \left|BC\right|$ dann gilt $\left|\alpha\right| \neq \left|\beta\right|$.

Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen.

Da nach Voraussetzung gilt: $\left|AC\right| < \left|BC\right|$, d.h. $\left|AC\right| \neq \left|BC\right|$, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: $\left|\alpha\right| \neq \left|\beta\right|$.

Damit ist der Satz bewiesen.