Was ist eine Gruppe? SoSe 2017: Unterschied zwischen den Versionen
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(→Halbgruppe) |
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=Gegenbeispiele für Gruppen= | =Gegenbeispiele für Gruppen= | ||
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=Gruppendefinitionen= | =Gruppendefinitionen= | ||
==Die "übliche" Gruppendefinition (lange Version)== | ==Die "übliche" Gruppendefinition (lange Version)== | ||
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==Ordnung einer Gruppe== | ==Ordnung einer Gruppe== | ||
− | Definition:(Gruppenordnung) | + | '''Definition 2: (Gruppenordnung)''' |
− | : Unter der Ordnung einer Gruppe versteht man die Anzahl ihrer Elemente. | + | ----- |
+ | : Unter der Ordnung einer Gruppe versteht man die Anzahl ihrer Elemente.<br /> | ||
+ | Kurzschreibweise: Wenn <math>n</math> die Ordnung der Gruppe <math>G</math> ist: <math>|G|=n</math> | ||
+ | |||
+ | ==Ordnung einer Gruppenelements== | ||
+ | '''Definition 3: (Ordung eines Gruppenelements)''' | ||
+ | ----- | ||
+ | Es sei <math>[G,\odot]</math> eine Gruppe mit dem Einselement <math>e</math> und <math>g\in G</math>. Die kleinste natürliche Zahl <math>n</math> mit <math>n>0</math>, für die gilt <math>g^n=e</math> heißt Ordnung von <math>g</math>.<br /> | ||
+ | Kurzschreibweise: <math>|g|=n</math> | ||
==Halbgruppe== | ==Halbgruppe== | ||
− | Eine | + | '''Definition 4: (Halbgruppe)''' |
− | (Bitte dazu in die Diskussion schauen!) | + | ----- |
+ | :Eine Menge <math>H</math> auf der eine Verknüpfung <math>\odot</math> definiert ist, heißt Halbgruppe, wenn <math>\odot</math> abgeschlossen auf <math>H</math> und assoziativ ist. | ||
+ | <br /> | ||
+ | Bemerkung: Tutor Alex wies darauf hin, dass die Menge <math>H</math> auch die leere Menge sein darf. Er hat recht. Ich habe das geändert.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 16:43, 14. Mai 2017 (CEST) | ||
+ | (Bitte dazu in die Diskussion schauen! (Update)) | ||
==Monoid== | ==Monoid== | ||
− | Eine Halbgruppe mit Einselement heißt Monoid. | + | '''Definition 5: (Monoid)''' |
+ | ----- | ||
+ | :Eine Halbgruppe mit Einselement heißt Monoid. | ||
== Das Linkseinslement ist auch Rechtseinselement== | == Das Linkseinslement ist auch Rechtseinselement== | ||
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# Ersetzen Sie <math>e</math> durch das Produkt des Linksinversen vom Linksinversen von <math>g</math> mit dem Linksinversen von <math>g</math>: <math>(g^{-1})^{-1} \odot g^{-1}</math>. | # Ersetzen Sie <math>e</math> durch das Produkt des Linksinversen vom Linksinversen von <math>g</math> mit dem Linksinversen von <math>g</math>: <math>(g^{-1})^{-1} \odot g^{-1}</math>. | ||
# Der Rest ist geschicktes Klammern und Ausnutzung der Assoziativität... | # Der Rest ist geschicktes Klammern und Ausnutzung der Assoziativität... | ||
+ | |||
+ | '''Beweis:''' | ||
+ | ------ | ||
+ | Es sei <math>g^{-1}</math> das Linksinverse von <math>g</math>.<br /> | ||
+ | |||
+ | Wir muliplizieren <math>g^{-1}</math> von rechts mit <math>g</math>:<br /> | ||
+ | (I) <math>g \cdot g^{-1}</math><br /> | ||
+ | (II) <math>g \cdot g^{-1}= e \cdot g \cdot g^{-1}</math><br /> | ||
+ | Wissen: Auch <math>g^{-1}</math> hat ein Linksinverses: <math>(g^{-1})^{-1}</math><br /> | ||
+ | Ersetzen <math>e</math> durch <math>(g^{-1})^{-1}\cdot g^{-1}</math><br /> | ||
+ | |||
+ | (III) <math>g \cdot g^{-1}= (g^{-1})^{-1}\cdot g^{-1} \cdot g \cdot g^{-1}</math><br /> | ||
+ | (IV) geschicktes Klammern: <math>g \cdot g^{-1}= (g^{-1})^{-1}\cdot (g^{-1} \cdot g) \cdot g^{-1}</math><br /> | ||
+ | (V) Klammer berechnen:<math>g \cdot g^{-1}= (g^{-1})^{-1}\cdot e \cdot g^{-1}</math><br /> | ||
+ | (VI) Mit <math>e</math> multiplizieren ist geschenkt ... <math>g \cdot g^{-1}= (g^{-1})^{-1}\cdot g^{-1}</math><br /> | ||
+ | (VII) <math>(g^{-1})^{-1}\cdot g^{-1}</math> bedeutet, das Linksinverse vom Linksinversen von <math>g</math> mieinander multiplizieren. <br /> | ||
+ | (VII) also <math>(g^{-1})^{-1}\cdot g^{-1}=e</math> <br /> | ||
+ | (IX) und damit <math>g \cdot g^{-1}= (g^{-1})^{-1}\cdot g^{-1}=e</math> <br /> | ||
+ | (X) oder einfach: <math>g \cdot g^{-1}=e</math> und damit: Das Linksinverse <math>g^{-1}</math> von <math>g</math> ist auch sein Rechtsinverses <br /> | ||
<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben ---> | <!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben ---> | ||
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[[Kategorie:Algebra]] | [[Kategorie:Algebra]] |
Aktuelle Version vom 16. Mai 2017, 13:41 Uhr
Beispiele für Gruppenendliche GruppenDie Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks
Die Gruppe der Deckabbildungen der Rauteunendliche Gruppen Gebrochene Zahlen:
Ganze Zahlen:
Gegenbeispiele für GruppenGruppendefinitionenDie "übliche" Gruppendefinition (lange Version)Definition 1a: (Gruppe Langfassung) Es sei
Die "übliche" Gruppendefinition (kurze Version)Definition 1b: (Gruppe, Kurzfassung) Es sei
Ordnung einer GruppeDefinition 2: (Gruppenordnung)
Kurzschreibweise: Wenn Ordnung einer GruppenelementsDefinition 3: (Ordung eines Gruppenelements) Es sei HalbgruppeDefinition 4: (Halbgruppe)
MonoidDefinition 5: (Monoid)
Das Linkseinslement ist auch RechtseinselementDie lange Version der Gruppendefinition fordert, dass wenn das Einselement Satz 1
Beweis von Satz 1Übungsaufgabe, Hinweise
Beweis: Es sei Wir muliplizieren (III) |