Serie 2 Untergruppen SoSe 2017: Unterschied zwischen den Versionen

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Es seien <math>[G, \odot]</math> und <math>[U,\otimes]</math> zwei Gruppen mit <math>U \subset G</math>. Warum ist <math>[U,\otimes]</math> keine Untergruppe von <math>[G, \odot]</math>?
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Es sei <math>[G, \odot]</math> eine Gruppe mit dem Einselement <math>e</math>. Beweisen Sie: <math>e</math> gehört zu jeder Untergruppe von <math>G</math>.
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==Aufgabe 2.3==
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Es sei <math>[U, \otimes]</math> eine Untergruppe von <math>[G, \otimes]</math> nach Definition 6.<br />
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Beweisen Sie:<br />
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:(I) <math>\forall a, b \in U: a \otimes b \in U</math>,
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:(II) <math>\forall a \in U: a^{-1} \in U</math>.
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Es sei <math>[G, \otimes]</math> eine Gruppe und <math>U</math> eine nichtleere Teilmenge von <math>G</math>.<br />
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Beweisen Sie:<br />
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::(I) <math>\forall a, b \in U: a \otimes b \in U</math> und
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::(II) <math>\forall a \in U: a^{-1} \in U</math>
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::ist <math>[U, \otimes]</math> eine Untergruppe von <math>[g, \otimes]</math> entsprechend Definition 6.
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Beweisen Sie Satz 3.
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==Aufgabe 2.6==
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Es sei <math>[G, \otimes]</math> eine Gruppe und <math>g \in G</math> mit <math>|g|=n</math>.<br />
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<math>U</math> sei die Menge aller Potenzen <math>g^i</math> mit <math>0<j\leq n</math>. Beweisen Sie: <math>[U, \otimes]</math> ist Untergruppe von <math>[G,\otimes]</math>.
 
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Aktuelle Version vom 14. Mai 2017, 17:26 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Serie 2 Untergruppen SoSe 2017

Aufgabe 2.1

Es seien [G, \odot] und [U,\otimes] zwei Gruppen mit U \subset G. Warum ist [U,\otimes] keine Untergruppe von [G, \odot]?

Aufgabe 2.2

Es sei [G, \odot] eine Gruppe mit dem Einselement e. Beweisen Sie: e gehört zu jeder Untergruppe von G.

Aufgabe 2.3

Es sei [U, \otimes] eine Untergruppe von [G, \otimes] nach Definition 6.
Beweisen Sie:

(I) \forall a, b \in U: a \otimes b \in U,
(II) \forall a \in U: a^{-1} \in U.

Aufgabe 2.4

Es sei [G, \otimes] eine Gruppe und U eine nichtleere Teilmenge von G.
Beweisen Sie:

Wenn
(I) \forall a, b \in U: a \otimes b \in U und
(II) \forall a \in U: a^{-1} \in U
dann
ist [U, \otimes] eine Untergruppe von [g, \otimes] entsprechend Definition 6.

Aufgabe 2.5

Beweisen Sie Satz 3.

Aufgabe 2.6

Es sei [G, \otimes] eine Gruppe und g \in G mit |g|=n.
U sei die Menge aller Potenzen g^i mit 0<j\leq n. Beweisen Sie: [U, \otimes] ist Untergruppe von [G,\otimes].

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