Lösung von Aufgabe 12.3: Unterschied zwischen den Versionen
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<br />Aus (V) und (VII) folgt, dass die Annahme verworfen werden muss. | <br />Aus (V) und (VII) folgt, dass die Annahme verworfen werden muss. | ||
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+ | == Lösung 2 ==<br />Sei ABC ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Laut dem schwachen Außenwinkelsatz gilt, dass <math>|\alpha| \ < |\beta'|</math>.<br />Zudem gilt wegen Nebenwinkelaxiom und nach Umformung: <math>\ |\beta'| = 180 - |\beta|</math> | ||
+ | Nun gilt: <math>|\alpha| \ < 180 - |\beta|</math> | ||
+ | Nach Umformung erhält man: <math>|\alpha| + |\beta|\ < 180 </math>. |
Aktuelle Version vom 25. Juli 2010, 23:39 Uhr
Aufgabenstellung
Beweisen Sie:
Korollar 2 zum schwachen Außenwinkelsatz
- Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.
Lösung 1
Die Beweisführung ist natürlich sehr ähnlich zu Aufgabe 12.2.
Der Einfachheit halber werden die Winkel mit bezeichnet, die jeweiligen Außenwinkel sind dann .
Voraussetzung: Dreieck
Behauptung; Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.
Indirekter Beweis. Annahme: Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks kann 180 oder mehr betragen.
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Es gilt: und | schwacher Außenwinkelsatz |
(II) | Axiom IV.4: (Supplementaxiom): Nebenwinkel sind supplementär. | |
(III) | (II), Algebraische Umformung | |
(IV) | und | (I), (III) |
(V) | und | (IV), Algebraische Umformung |
(VI) | Es gilt: und | schwacher Außenwinkelsatz |
(VII) | und | Beweis zusammengefasst, analog zu Schritte (I) bis (V) |
Aus (V) und (VII) folgt, dass die Annahme verworfen werden muss.
--Heinzvaneugen 01:55, 12. Jul. 2010 (UTC)
== Lösung 2 ==
Sei ABC ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Laut dem schwachen Außenwinkelsatz gilt, dass .
Zudem gilt wegen Nebenwinkelaxiom und nach Umformung:
Nun gilt:
Nach Umformung erhält man: .