Lösung von Aufgabe 12.4: Unterschied zwischen den Versionen

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(Die Seite wurde neu angelegt: Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt \ P auf eine Gerade \ g. ==== Existenz ==== ==== Eindeutigkeit ==== <br />Voraussetzung: Ge...)
 
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Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt \ P  auf eine Gerade \ g.  
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Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt <math>\ P</math> auf eine Gerade <math>\ g</math>.  
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==== Existenz ====
 
==== Existenz ====
  
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==== Eindeutigkeit ====
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Voraussetzung: Gerade <math>\ g</math>, Punkt <math>\ P \notin g</math>
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<br />Voraussetzung: Gerade <math>\ g</math>, Punkt <math>\ P \notin g</math>, Lot <math>\ l</math>von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> mit Lotfußpunkt <math>\ L</math>
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<br />Behauptung: Es existiert ein Lot <math>\ l</math>von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> mit Lotfußpunkt <math>\ L</math>
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<br />Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf <math>\ g</math>, die durch <math>\ P</math> geht.
  
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<br />Behauptung: Es existiert genau ein Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.
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! Nr.
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| Es existiert ein Punkt <math>A \in g</math>, der Abstand zu P beträgt <math>|AP| \ </math>
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| Axiom I/1 (Axiom von der Geraden), Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
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| Am Scheitelpunkt <math>A \ </math> wird an der Gerade <math>g \ </math> der Winkel <math>\alpha \ </math> in die Halbebene <math>g,P^- \ </math> abgetragen.
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| Winkelkonstruktionsaxiom
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! style="background: #FFDDDD;"|(III)
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| Auf dem entstanden Strahl trägt man die Länge von <math>\ |AP|</math> ab. Es entsteht der Punkt <math>\ P'</math>.
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| Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
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| <math>\ PP' \cap g </math>. Der Schnittpunkt sei <math>\ L</math>.
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| <math>\ P</math> und <math>\ P'</math> liegen in unterschiedlichen Halbebenen bezogen auf <math>\ g </math>.  
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| Es entstehen zwei kongruente Dreiecke <math>\overline {PLA}</math> und <math>\overline {P'LA}</math>
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S - <math>\overline {PA} \cong \overline {P'A}</math> (III)
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| Die Winkel an <math>\ L</math> sind rechte Winkel
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| (IV), (V), kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel (Definition V.6 : Rechter Winkel)
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| <math>\ PL</math> steht senkrecht auf <math>\ g \rightarrow PL</math> ist Lotgerade, <math>\overline {PL} \ </math> ist Lot(strecke)
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| (VI), Definition Lot
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Kleine Anmerkung: Bei Schritt (II) muss man an sich auch definieren, dass der Winkel <math>\alpha' \ </math> bezüglich <math>AP \ </math> in der selben Halbebene liegt wie <math>\alpha \ </math>. An dieser Stelle wurde es wg. besserer Übersicht weggelassen.
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<br />Man könnte ja einfach sagen, dass nkoll(P, A, P') gelten soll. Dann wäre der zweite mögliche, für uns jedoch nicht nützliche Winkel ausgeschlossen. --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 08:03, 24. Jul. 2010 (UTC)<br />Uuups, mir ist gerade aufgefallen, dass wir zu diesem Zeitpunkt P' ja noch gar nicht haben... Traurig.--[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 08:07, 24. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
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<br />Behauptung: Es existiert genau ein Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.
 
<br />Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.
 
<br />Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.
 
<br />Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt <math>\ L'</math>
 
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| Es existiert ein Dreieck <math>\overline {PLL'}</math>
 
| Es existiert ein Dreieck <math>\overline {PLL'}</math>
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| VSS, <math>\overline {LL'} \in g</math>, Punkte <math>\ L L' P </math> sind nicht kollinear
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| VSS, Punkte <math>\ L L' P </math> sind nicht kollinear, da <math>\ L \in g \and L' \in g \and P \notin g</math> laut Definition Lot und Lotfußpunkt.
 
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| <math>|\angle LL'P| = 90</math>
 
| <math>|\angle LL'P| = 90</math>
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| VSS, <math>\ L'</math> ist Lotfußpunkt
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| Annahme, <math>\ L'</math> ist Lotfußpunkt
 
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| Annahme muss verworfen werden
 
| Annahme muss verworfen werden
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| Widerspruch zwischen (V) und (III)!!!
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| Widerspruch zwischen (V) und (III) !!!
 
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<br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)

Aktuelle Version vom 24. Juli 2010, 09:07 Uhr

Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt \ P auf eine Gerade \ g.

Existenz

Voraussetzung: Gerade \ g, Punkt \ P \notin g
Behauptung: Es existiert ein Lot \ lvon \ P auf \ g mit Lotfußpunkt \ L
Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf \ g, die durch \ P geht.

Nr. Beweisschritt Begründung
(I) Es existiert ein Punkt A \in g, der Abstand zu P beträgt |AP| \ Axiom I/1 (Axiom von der Geraden), Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
(II) Am Scheitelpunkt A \ wird an der Gerade g \ der Winkel \alpha \ in die Halbebene g,P^- \ abgetragen. Winkelkonstruktionsaxiom
(III) Auf dem entstanden Strahl trägt man die Länge von \ |AP| ab. Es entsteht der Punkt \ P'. Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
(IV) \ PP' \cap g . Der Schnittpunkt sei \ L. \ P und \ P' liegen in unterschiedlichen Halbebenen bezogen auf \ g .
(V) Es entstehen zwei kongruente Dreiecke \overline {PLA} und \overline {P'LA} SWS

S - \overline {PA} \cong \overline {P'A} (III)
W - \alpha \cong \alpha' (II)
S - \overline {AL} \cong \overline {AL} trivial

(VI) Die Winkel an \ L sind rechte Winkel (IV), (V), kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel (Definition V.6 : Rechter Winkel)
(VII) \ PL steht senkrecht auf \ g \rightarrow PL ist Lotgerade, \overline {PL} \ ist Lot(strecke) (VI), Definition Lot

Kleine Anmerkung: Bei Schritt (II) muss man an sich auch definieren, dass der Winkel \alpha' \ bezüglich AP \ in der selben Halbebene liegt wie \alpha \ . An dieser Stelle wurde es wg. besserer Übersicht weggelassen.
Man könnte ja einfach sagen, dass nkoll(P, A, P') gelten soll. Dann wäre der zweite mögliche, für uns jedoch nicht nützliche Winkel ausgeschlossen. --Barbarossa 08:03, 24. Jul. 2010 (UTC)
Uuups, mir ist gerade aufgefallen, dass wir zu diesem Zeitpunkt P' ja noch gar nicht haben... Traurig.--Barbarossa 08:07, 24. Jul. 2010 (UTC)

Eindeutigkeit

Voraussetzung: Gerade \ g, Punkt \ P \notin g, Lot \ lvon \ P auf \ g mit Lotfußpunkt \ L
Behauptung: Es existiert genau ein Lot von \ P auf \ g.
Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von \ P auf \ g.
Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt \ L'

Nr. Beweisschritt Begründung
(I) Es existiert ein Dreieck \overline {PLL'} VSS, Punkte \ L L' P sind nicht kollinear, da \ L \in g \and L' \in g \and P \notin g laut Definition Lot und Lotfußpunkt.
(II) |\angle LL'P| = 90 Annahme, \ L' ist Lotfußpunkt
(III) |\angle PLL'| = 90 VSS, \ L ist Lotfußpunkt
(IV) Außenwinkel von |\angle LL'P| = 90 Supplementaxiom
(V) |\angle PLL'| < Außenwinkel von |\angle LL'P|


|\angle PLL'| < 90

Schwacher Außenwinkelsatz
(VI) Annahme muss verworfen werden Widerspruch zwischen (V) und (III) !!!


--Heinzvaneugen 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)

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