Lösung von Aufgabe 12.4: Unterschied zwischen den Versionen
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<br />Behauptung: Es existiert ein Lot <math>\ l</math>von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> mit Lotfußpunkt <math>\ L</math> | <br />Behauptung: Es existiert ein Lot <math>\ l</math>von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> mit Lotfußpunkt <math>\ L</math> | ||
<br />Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf <math>\ g</math>, die durch <math>\ P</math> geht. | <br />Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf <math>\ g</math>, die durch <math>\ P</math> geht. | ||
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− | | <math>\ |AP| | + | | Es existiert ein Punkt <math>A \in g</math>, der Abstand zu P beträgt <math>|AP| \ </math> |
− | | | + | | Axiom I/1 (Axiom von der Geraden), Axiom III.1 (Axiom vom Lineal) |
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− | | | + | | Am Scheitelpunkt <math>A \ </math> wird an der Gerade <math>g \ </math> der Winkel <math>\alpha \ </math> in die Halbebene <math>g,P^- \ </math> abgetragen. |
− | | | + | | Winkelkonstruktionsaxiom |
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− | | <math>\ | + | | Auf dem entstanden Strahl trägt man die Länge von <math>\ |AP|</math> ab. Es entsteht der Punkt <math>\ P'</math>. |
− | | | + | | Axiom III.1 (Axiom vom Lineal) |
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− | | <math>\ | + | | <math>\ PP' \cap g </math>. Der Schnittpunkt sei <math>\ L</math>. |
− | + | | <math>\ P</math> und <math>\ P'</math> liegen in unterschiedlichen Halbebenen bezogen auf <math>\ g </math>. | |
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− | | <math>\ | + | | Es entstehen zwei kongruente Dreiecke <math>\overline {PLA}</math> und <math>\overline {P'LA}</math> |
− | + | | SWS | |
+ | S - <math>\overline {PA} \cong \overline {P'A}</math> (III) | ||
+ | <br />W - <math>\alpha \cong \alpha'</math> (II) | ||
+ | <br />S - <math>\overline {AL} \cong \overline {AL}</math> trivial | ||
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− | | <math> | + | | Die Winkel an <math>\ L</math> sind rechte Winkel |
− | | ( | + | | (IV), (V), kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel (Definition V.6 : Rechter Winkel) |
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+ | | <math>\ PL</math> steht senkrecht auf <math>\ g \rightarrow PL</math> ist Lotgerade, <math>\overline {PL} \ </math> ist Lot(strecke) | ||
+ | | (VI), Definition Lot | ||
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− | <br /> | + | Kleine Anmerkung: Bei Schritt (II) muss man an sich auch definieren, dass der Winkel <math>\alpha' \ </math> bezüglich <math>AP \ </math> in der selben Halbebene liegt wie <math>\alpha \ </math>. An dieser Stelle wurde es wg. besserer Übersicht weggelassen. |
− | + | <br />Man könnte ja einfach sagen, dass nkoll(P, A, P') gelten soll. Dann wäre der zweite mögliche, für uns jedoch nicht nützliche Winkel ausgeschlossen. --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 08:03, 24. Jul. 2010 (UTC)<br />Uuups, mir ist gerade aufgefallen, dass wir zu diesem Zeitpunkt P' ja noch gar nicht haben... Traurig.--[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 08:07, 24. Jul. 2010 (UTC)<br /><br /> | |
+ | <ggb_applet width="1116" height="616" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> | ||
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==== Eindeutigkeit ==== | ==== Eindeutigkeit ==== | ||
Voraussetzung: Gerade <math>\ g</math>, Punkt <math>\ P \notin g</math>, Lot <math>\ l</math>von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> mit Lotfußpunkt <math>\ L</math> | Voraussetzung: Gerade <math>\ g</math>, Punkt <math>\ P \notin g</math>, Lot <math>\ l</math>von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> mit Lotfußpunkt <math>\ L</math> |
Aktuelle Version vom 24. Juli 2010, 10:07 Uhr
Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt auf eine Gerade .
Existenz
Voraussetzung: Gerade , Punkt
Behauptung: Es existiert ein Lot von auf mit Lotfußpunkt
Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf , die durch geht.
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Es existiert ein Punkt , der Abstand zu P beträgt | Axiom I/1 (Axiom von der Geraden), Axiom III.1 (Axiom vom Lineal) |
(II) | Am Scheitelpunkt wird an der Gerade der Winkel in die Halbebene abgetragen. | Winkelkonstruktionsaxiom |
(III) | Auf dem entstanden Strahl trägt man die Länge von ab. Es entsteht der Punkt . | Axiom III.1 (Axiom vom Lineal) |
(IV) | . Der Schnittpunkt sei . | und liegen in unterschiedlichen Halbebenen bezogen auf . |
(V) | Es entstehen zwei kongruente Dreiecke und | SWS
S - (III)
|
(VI) | Die Winkel an sind rechte Winkel | (IV), (V), kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel (Definition V.6 : Rechter Winkel) |
(VII) | steht senkrecht auf ist Lotgerade, ist Lot(strecke) | (VI), Definition Lot |
Kleine Anmerkung: Bei Schritt (II) muss man an sich auch definieren, dass der Winkel bezüglich in der selben Halbebene liegt wie . An dieser Stelle wurde es wg. besserer Übersicht weggelassen.
Man könnte ja einfach sagen, dass nkoll(P, A, P') gelten soll. Dann wäre der zweite mögliche, für uns jedoch nicht nützliche Winkel ausgeschlossen. --Barbarossa 08:03, 24. Jul. 2010 (UTC)
Uuups, mir ist gerade aufgefallen, dass wir zu diesem Zeitpunkt P' ja noch gar nicht haben... Traurig.--Barbarossa 08:07, 24. Jul. 2010 (UTC)
Eindeutigkeit
Voraussetzung: Gerade , Punkt , Lot von auf mit Lotfußpunkt
Behauptung: Es existiert genau ein Lot von auf .
Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von auf .
Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Es existiert ein Dreieck | VSS, Punkte sind nicht kollinear, da laut Definition Lot und Lotfußpunkt. |
(II) | Annahme, ist Lotfußpunkt | |
(III) | VSS, ist Lotfußpunkt | |
(IV) | Außenwinkel von | Supplementaxiom |
(V) | Außenwinkel von
|
Schwacher Außenwinkelsatz |
(VI) | Annahme muss verworfen werden | Widerspruch zwischen (V) und (III) !!! |
--Heinzvaneugen 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)