Lösung von Aufgabe 12.6: Unterschied zwischen den Versionen
(Die Seite wurde neu angelegt: Beweisen Sie: Wenn <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math> ist, dann gibt es eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht un...) |
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− | VSS: Punkt <math> P </math>, Gerade <math> g </math>, <math>P \not \in g </math><br /> | + | VSS: Punkt <math>\ P </math>, Gerade <math>\ g </math>, <math>P \not \in g </math><br /> |
− | Beh: Gerade <math> h </math>, <math>P \in h</math>, <math>g | + | Beh: Gerade <math>\ h </math>, <math>P \in h</math>, <math>g \| h </math> |
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− | | Gerade PQ | + | | Gerade <math>\ PQ</math> |
| (Axiom I.1) | | (Axiom I.1) | ||
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− | | das Maß von <math> | \angle PQR| = \alpha </math> im Punkt <math>P </math> an Gerade <math>PQ </math> in der Halbebene <math>{PQ,R^{+}}</math> abtragen. Es exisitert genau ein <math>{PS^{+}}</math> mit dem Maß <math>|\alpha{'}| | + | | das Maß von <math> | \angle PQR| = \alpha </math> im Punkt <math>\ P </math> an Gerade <math>\ PQ </math>, am Strahl <math>\ {PQ^{-}}</math> in der Halbebene <math>\ {PQ,R^{+}}</math> abtragen. Es exisitert genau ein <math>\ {PS^{+}}</math> mit dem Maß <math>\ |\alpha{'}| = | \alpha| </math> |
| (Winkelkonstruktionsaxiom), (Winkelmaßaxiom), (I), (II) | | (Winkelkonstruktionsaxiom), (Winkelmaßaxiom), (I), (II) | ||
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− | | <math>\alpha | + | | <math>\ \alpha' , \alpha </math> sind Stufenwinkel |
| (III), (Def. Stufenwinkel) | | (III), (Def. Stufenwinkel) | ||
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− | | <math>PS </math> = <math> h </math> | + | | <math>\ PS </math> = <math>\ h </math> |
| (Axiom I.1) | | (Axiom I.1) | ||
|- | |- | ||
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− | | <math>g | + | | <math>\ g \| h </math> |
| (Umkehrung Stufenwinkelsatz), (IV), (V) | | (Umkehrung Stufenwinkelsatz), (IV), (V) | ||
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--> Beh ist wahr. <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:07, 14. Jul. 2010 (UTC) | --> Beh ist wahr. <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:07, 14. Jul. 2010 (UTC) | ||
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+ | == Versuch 2 == | ||
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+ | Mal wieder formlos: folgender Vorschlag: | ||
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+ | Zu beweisen sind Existenz und Eindeutigkeit. | ||
+ | <br />Die Gerade h, die durch den Punkt P geht kann sich zu g auf drei Arten verhalten: | ||
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+ | #Fall: ist identisch => Widerspruch zur Voraussetzung | ||
+ | #Fall: schneidet h | ||
+ | #Fall: ist parallel zu h, also schnittpunktfrei | ||
+ | <br />Fall 2 und 3 sind laut Vor. möglich, also existiert auf jeden Fall eine parallele Gerade. | ||
+ | <br />Die Eindeutigkeit beweise ich indirekt. | ||
+ | <br />Annahme: Es gibt genau zwei Parallelen durch P, die zu g parallel stehen, nämlich h und i, die nicht identisch sind. | ||
+ | <br />(1) P ist sowohl Element von h, als auch von i. Die Geraden h und i sind damit identisch (Widerspruch Annahme) oder P ist ihr Schnittpunkt. Damit sind i und h aber nicht zueinander parallel (da nicht schnittpunktfrei). Parallelität ist transitiv. Wenn h und i nicht parallel sind, dann gilt entweder h parallel zu g oder i parallel zu g. Damit gibt es wieder nur eine Gerade durch P, die zu g parallel ist und nicht zwei. | ||
+ | --[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 15:49, 14. Jul. 2010 (UTC) |
Aktuelle Version vom 17. Juli 2010, 12:51 Uhr
Beweisen Sie: Wenn ein Punkt außerhalb der Geraden ist, dann gibt es eine Gerade , die durch geht und parellel zu ist.
Versuch 1
VSS: Punkt , Gerade ,
Beh: Gerade , ,
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | , | (Axiom I.0) |
(II) | Gerade | (Axiom I.1) |
(III) | das Maß von im Punkt an Gerade , am Strahl in der Halbebene abtragen. Es exisitert genau ein mit dem Maß | (Winkelkonstruktionsaxiom), (Winkelmaßaxiom), (I), (II) |
(IV) | sind Stufenwinkel | (III), (Def. Stufenwinkel) |
(V) | = | (Axiom I.1) |
(V) | (Umkehrung Stufenwinkelsatz), (IV), (V) |
--> Beh ist wahr.
--Löwenzahn 11:07, 14. Jul. 2010 (UTC)
Versuch 2
Mal wieder formlos: folgender Vorschlag:
Zu beweisen sind Existenz und Eindeutigkeit.
Die Gerade h, die durch den Punkt P geht kann sich zu g auf drei Arten verhalten:
- Fall: ist identisch => Widerspruch zur Voraussetzung
- Fall: schneidet h
- Fall: ist parallel zu h, also schnittpunktfrei
Fall 2 und 3 sind laut Vor. möglich, also existiert auf jeden Fall eine parallele Gerade.
Die Eindeutigkeit beweise ich indirekt.
Annahme: Es gibt genau zwei Parallelen durch P, die zu g parallel stehen, nämlich h und i, die nicht identisch sind.
(1) P ist sowohl Element von h, als auch von i. Die Geraden h und i sind damit identisch (Widerspruch Annahme) oder P ist ihr Schnittpunkt. Damit sind i und h aber nicht zueinander parallel (da nicht schnittpunktfrei). Parallelität ist transitiv. Wenn h und i nicht parallel sind, dann gilt entweder h parallel zu g oder i parallel zu g. Damit gibt es wieder nur eine Gerade durch P, die zu g parallel ist und nicht zwei.
--Nicola 15:49, 14. Jul. 2010 (UTC)