Gruppendefinition (Gleichung): Unterschied zwischen den Versionen

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In jeder Gruppe <math>[G, \odot]</math> gilt: Jedes Gruppenelement <math>g \in G</math> hat genau ein inverses Element.
 
In jeder Gruppe <math>[G, \odot]</math> gilt: Jedes Gruppenelement <math>g \in G</math> hat genau ein inverses Element.
 
==Beweis von Satz 4==
 
==Beweis von Satz 4==
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Es sei <math>g \in G</math> eine Gruppe mit dem Einslement <math>e</math>. Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat <math>g</math> in <math>G</math> ein Inverses <math>g_1^{-1}</math> bezüglich <math>\odot</math>. Wir nehmen an, <math>g</math> hat in <math>G</math> ein weiteres Inverses <math>g_2^{-1}</math>, das natürlich von <math>g_1^{-1}</math> verschieden ist. Nach Satz 1 wissen wir, dass <math>g_1{-1}</math> und <math>g_2^{-1}</math> von links und von rechts invers zu <math>g</math> bzgl. <math>\odot</math> sind. Die triviale Gleichung <math>(I) e=e</math> "pumpen" wir zu <math>(II) g \odot g_1^{-1} = g \odot g_2{-1}</math> auf. (II) multiplizieren wir auf beiden Seiten von links mit <math>g_1^{-1}</math> und erhalten <math>g_1^{-1} \odot g \odot g_1^{-1}= g_1^{-1} \odot g \odot g_2{-1}</math>. (III) verkürzt sich zu <math>g_1^{-1}=g_2{-1}</math>, was ein Widerspruch zu unserer Annahme <math>g_1^{-1} \neq g_2^{-1}</math> ist.
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Es sei <math>g \in G</math> eine Gruppe mit dem Einslement <math>e</math>. Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat <math>g</math> in <math>G</math> ein Inverses <math>g_1^{-1}</math> bezüglich <math>\odot</math>. Wir nehmen an, <math>g</math> hat in <math>G</math> ein weiteres Inverses <math>g_2^{-1}</math>, das natürlich von <math>g_1^{-1}</math> verschieden ist. Nach Satz 1 wissen wir, dass <math>g_1^{-1}</math> und <math>g_2^{-1}</math> von links und von rechts invers zu <math>g</math> bzgl. <math>\odot</math> sind. <br />
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Die triviale Gleichung <math>(I) e=e</math> "pumpen" wir zu <math>(II) g \odot g_1^{-1} = g \odot g_2^{-1}</math> auf. <br />
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=Kürzbarkeit=
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==Satz 5==
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Es sei <math>[G, \odot]</math> eine Gruppe. Für alle Elemente <math>a, b, c \in G</math> gilt: <br />
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# <math>a\odot b = a \odot c \Rightarrow b=c</math>
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# <math>b \odot a= c \odot a \Rightarrow b=c</math>
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==Beweis von Satz 5==
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Jeweils von rechts bzw. links beide Seiten der Gleichung mit <math>a^{-1}</math> multiplizieren.
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=Lösbarkeit der Gleichungen=
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==Satz 6==
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In jeder Gruppe <math>[G, \odot]</math> sind die Gleichungen
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# <math>a \odot x= b</math> und
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# <math>y \odot a = b</math>
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jeweils eindeutig lösbar.
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==Beweis von Satz 6==
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Wir führen den Beweis nur für die Gleichung <math>a \odot x= b</math>, für die Gleichung <math>y \odot a = b</math> wird der Beweis analog geführt.<br />
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===Existenzbeweis===
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Zuerst formen wir <math>a\odot x=b</math> um:
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<math>x=a^{-1}\odot b</math> setzen wir nun in <math>a\odot x=b</math> ein und formen um: <math>a \odot (a^{-1}\odot b) = (a \odot a^{-1}) \odot b = e \odot b = b</math>.
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===Eindeutigkeitsbeweis===
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Es seien <math>x_1</math> und <math>x_2</math> Lösungen der Gleichung <math>a \odot x= b</math>. Damit folgt <math>a \odot x_1 = a \odot x_2</math>. Nach Satz 5 gilt <math>x_1=x_2</math>
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=Ein Monoid in dem die Gleichungen lösbar sind, ist eine Gruppe=
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==Satz 7==
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Es sei <math>[M, \odot]</math> ein Monoid. <math>e</math> sei das Einslement dieses Monoids. Wenn die Gleichungen
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in <math>[M, \odot ]</math>lösbar sind, dann ist das Monoid sogar eine Gruppe.
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==Beweis von Satz 7==
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Wir haben zu zeigen, dass zu jedem Element <math>a \in M</math> ein Inverses in <math>M</math> existiert. Wegen der Lösbarkeit der Gleichungen 1 und 2 sind auch die Gleichungen <br />
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lösbar.
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Daraus folgt, dass <math>x,y</math> Inverse von <math>a</math> sind, also <math>x=y=a^{-1}</math> (nach Satz 4).
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=Weitere Möglichkeit der Gruppendefinition=
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Die Sätze  6 und 7 erlauben, eine Gruppe als ein Monoid zu definieren, in dem die Gleichungen
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Aktuelle Version vom 13. Juli 2018, 14:56 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Eindeutigkeit des Einslementes

Satz 3

Jede Gruppe hat genau ein Einslement.

Beweis von Satz 3

Es sei [G, \odot] eine Gruppe. Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat [G, \odot] eine Einslement e_1. Es bleibt zu zeigen, dass [G, \odot] kein weiteres Einslement e_2 hat. Wir nehmen an es gibt e_2 mit e_2 \neq e_1. Nach Satz 2 sind e_1 und e_2 von links und von rechts Einselemente. Wir gehen aus von der Gleichung e_1 \odot e_2=e_1 \odot e_2. Aus dieser Gleichung folgt wegen der Einslement eigenschaft beider Elemente e_1 und e_2 (und das sowohl von rechts, wie auch von links) e_1=e_2.

Eindeutigkeit der inversen Elemente

Satz 4

In jeder Gruppe [G, \odot] gilt: Jedes Gruppenelement g \in G hat genau ein inverses Element.

Beweis von Satz 4

Es sei g \in G eine Gruppe mit dem Einslement e. Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat g in G ein Inverses g_1^{-1} bezüglich \odot. Wir nehmen an, g hat in G ein weiteres Inverses g_2^{-1}, das natürlich von g_1^{-1} verschieden ist. Nach Satz 1 wissen wir, dass g_1^{-1} und g_2^{-1} von links und von rechts invers zu g bzgl. \odot sind.

Die triviale Gleichung (I) e=e "pumpen" wir zu (II) g \odot g_1^{-1} = g \odot g_2^{-1} auf.

(II) multiplizieren wir auf beiden Seiten von links mit g_1^{-1} und erhalten (III) g_1^{-1} \odot g \odot g_1^{-1}= g_1^{-1} \odot g \odot g_2^{-1}.

(III) verkürzt sich zu g_1^{-1}=g_2^{-1}, was ein Widerspruch zu unserer Annahme g_1^{-1} \neq g_2^{-1} ist.

Kürzbarkeit

Satz 5

Es sei [G, \odot] eine Gruppe. Für alle Elemente a, b, c \in G gilt:

  1. a\odot b = a \odot c \Rightarrow b=c
  2. b \odot a= c \odot a \Rightarrow b=c

Beweis von Satz 5

Jeweils von rechts bzw. links beide Seiten der Gleichung mit a^{-1} multiplizieren.

Lösbarkeit der Gleichungen

Satz 6

In jeder Gruppe [G, \odot] sind die Gleichungen

  1. a \odot x= b und
  2. y \odot a = b

jeweils eindeutig lösbar.

Beweis von Satz 6

Wir führen den Beweis nur für die Gleichung a \odot x= b, für die Gleichung y \odot a = b wird der Beweis analog geführt.

Existenzbeweis

Zuerst formen wir a\odot x=b um:

a\odot x=b |\odot a^{-1}

a^{-1}\odot a \odot x = a^{-1} \odot b

e\odot x = a^{-1} \odot b

x = a^{-1} \odot b


x=a^{-1}\odot b setzen wir nun in a\odot x=b ein und formen um: a \odot (a^{-1}\odot b) = (a \odot a^{-1}) \odot b = e \odot b = b.

Eindeutigkeitsbeweis

Es seien x_1 und x_2 Lösungen der Gleichung a \odot x= b. Damit folgt a \odot x_1 = a \odot x_2. Nach Satz 5 gilt x_1=x_2

Ein Monoid in dem die Gleichungen lösbar sind, ist eine Gruppe

Satz 7

Es sei [M, \odot] ein Monoid. e sei das Einslement dieses Monoids. Wenn die Gleichungen

  1. a \odot x = b und
  2. y \odot a = b

in [M, \odot ]lösbar sind, dann ist das Monoid sogar eine Gruppe.

Beweis von Satz 7

Wir haben zu zeigen, dass zu jedem Element a \in M ein Inverses in M existiert. Wegen der Lösbarkeit der Gleichungen 1 und 2 sind auch die Gleichungen

  • a \odot x = e und
  • y \odot a = e

lösbar.

Daraus folgt, dass x,y Inverse von a sind, also x=y=a^{-1} (nach Satz 4).

Weitere Möglichkeit der Gruppendefinition

Die Sätze 6 und 7 erlauben, eine Gruppe als ein Monoid zu definieren, in dem die Gleichungen

  1. a \odot x = b und
  2. y \odot a = b

lösbar sind.

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