Lösung von Aufgabe 12.6: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 17. Juli 2010, 12:51 Uhr

Beweisen Sie: Wenn $\ P$ ein Punkt außerhalb der Geraden $\ g$ ist, dann gibt es eine Gerade $\ h$ , die durch $\ P$ geht und parellel zu $\ g$ ist.

Versuch 1

VSS: Punkt $\ P$ , Gerade $\ g$ , $P \not \in g$
Beh: Gerade $\ h$ , $P \in h$ , $g \| h$

Beweis
Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\exist Q: Q \in g$ , $\exist R: R \in g$	(Axiom I.0)
(II)	Gerade $\ PQ$	(Axiom I.1)
(III)	das Maß von $\| \angle PQR\| = \alpha$ im Punkt $\ P$ an Gerade $\ PQ$ , am Strahl $\ {PQ^{-}}$ in der Halbebene $\ {PQ,R^{+}}$ abtragen. Es exisitert genau ein $\ {PS^{+}}$ mit dem Maß $\ \|\alpha{'}\| = \| \alpha\|$	(Winkelkonstruktionsaxiom), (Winkelmaßaxiom), (I), (II)
(IV)	$\ \alpha' , \alpha$ sind Stufenwinkel	(III), (Def. Stufenwinkel)
(V)	$\ PS$ = $\ h$	(Axiom I.1)
(V)	$\ g \\| h$	(Umkehrung Stufenwinkelsatz), (IV), (V)

--> Beh ist wahr.
--Löwenzahn 11:07, 14. Jul. 2010 (UTC)

Versuch 2

Mal wieder formlos: folgender Vorschlag:

Zu beweisen sind Existenz und Eindeutigkeit.
Die Gerade h, die durch den Punkt P geht kann sich zu g auf drei Arten verhalten:

Fall: ist identisch => Widerspruch zur Voraussetzung
Fall: schneidet h
Fall: ist parallel zu h, also schnittpunktfrei

Fall 2 und 3 sind laut Vor. möglich, also existiert auf jeden Fall eine parallele Gerade.
Die Eindeutigkeit beweise ich indirekt.
Annahme: Es gibt genau zwei Parallelen durch P, die zu g parallel stehen, nämlich h und i, die nicht identisch sind.
(1) P ist sowohl Element von h, als auch von i. Die Geraden h und i sind damit identisch (Widerspruch Annahme) oder P ist ihr Schnittpunkt. Damit sind i und h aber nicht zueinander parallel (da nicht schnittpunktfrei). Parallelität ist transitiv. Wenn h und i nicht parallel sind, dann gilt entweder h parallel zu g oder i parallel zu g. Damit gibt es wieder nur eine Gerade durch P, die zu g parallel ist und nicht zwei. --Nicola 15:49, 14. Jul. 2010 (UTC)

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 == Versuch 1 ==
-VSS: Punkt <math> P </math>, Gerade <math> g </math>,  <math>P \not \in g </math><br />
+VSS: Punkt <math>\  P </math>, Gerade <math>\  g </math>,  <math>P \not \in g </math><br />
-Beh: Gerade <math> h </math>, <math>P \in h</math>, <math>g </math> <math> \| </math> <math> h </math>
+Beh: Gerade <math>\  h </math>, <math>P \in h</math>, <math>g \| h </math>
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 |-
 ! style="background: #FFDDDD;"|(II)
-| Gerade PQ
+| Gerade <math>\ PQ</math>
 | (Axiom I.1)
 |-
 ! style="background: #FFDDDD;"|(III)
-| das Maß von <math> | \angle PQR| = \alpha </math> im Punkt <math>P </math> an Gerade <math>PQ </math> in der Halbebene <math>{PQ,R^{+}}</math> abtragen. Es exisitert genau ein <math>{PS^{+}}</math> mit dem Maß <math>|\alpha{'}|</math> = <math>| \alpha| </math>
+| das Maß von <math> | \angle PQR| = \alpha </math> im Punkt <math>\ P </math> an Gerade <math>\ PQ </math>, am Strahl <math>\ {PQ^{-}}</math> in der Halbebene <math>\ {PQ,R^{+}}</math> abtragen. Es exisitert genau ein <math>\ {PS^{+}}</math> mit dem Maß <math>\ |\alpha{'}| = | \alpha| </math>
 | (Winkelkonstruktionsaxiom), (Winkelmaßaxiom), (I), (II)
 |-
 ! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
-| <math>\alpha{'}</math> , <math> \alpha </math> sind Stufenwinkel
+| <math>\ \alpha' , \alpha </math> sind Stufenwinkel
 | (III), (Def. Stufenwinkel)
 |-
 ! style="background: #FFDDDD;"|(V)
-| <math>PS </math>  = <math> h </math>
+| <math>\ PS </math>  = <math>\ h </math>
 | (Axiom I.1)
 |-
 ! style="background: #FFDDDD;"|(V)
-| <math>g </math> <math> \| </math> <math> h </math>
+| <math>\ g \| h </math>
 | (Umkehrung Stufenwinkelsatz), (IV), (V)
 |}
 --> Beh ist wahr. <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:07, 14. Jul. 2010 (UTC)
+== Versuch 2 ==
 Mal wieder formlos: folgender Vorschlag:
 Zu beweisen sind Existenz und Eindeutigkeit.
-Die Gerade h, die durch den Punkt P geht kann sich zu g auf drei Arten verhalten:
+<br />Die Gerade h, die durch den Punkt P geht kann sich zu g auf drei Arten verhalten:
-.Fall: ist identisch => Widerspruch zur Voraussetzung
-.Fall: schneidet h
+#Fall: ist identisch => Widerspruch zur Voraussetzung
-.Fall: ist parallel zu h, also schnittpunktfrei
+#Fall: schneidet h
-Fall 2 und 3 sind laut Vor. möglich, also existiert auf jeden Fall eine parallele Gerade.
+#Fall: ist parallel zu h, also schnittpunktfrei
-Die Eindeutigkeit beweise ich indirekt.
+<br />Fall 2 und 3 sind laut Vor. möglich, also existiert auf jeden Fall eine parallele Gerade.
-Annahme: Es gibt genau zwei Parallelen durch P, die zu g parallel stehen, nämlich h und i, die nicht identisch sind.
+<br />Die Eindeutigkeit beweise ich indirekt.
-(1) P ist sowohl Element von h, als auch von i. Die Geraden h und i sind damit identisch (Widerspruch Annahme) oder P ist ihr Schnittpunkt. Damit sind i und h aber nicht zueinander parallel (da nicht schnittpunktfrei). Parallelität ist transitiv. Wenn h und i nicht parallel sind, dann gilt entweder h parallel zu g oder i parallel zu g. Damit gibt es wieder nur eine Gerade durch P, die zu g parallel ist und nicht zwei.
+<br />Annahme: Es gibt genau zwei Parallelen durch P, die zu g parallel stehen, nämlich h und i, die nicht identisch sind.
+<br />(1) P ist sowohl Element von h, als auch von i. Die Geraden h und i sind damit identisch (Widerspruch Annahme) oder P ist ihr Schnittpunkt. Damit sind i und h aber nicht zueinander parallel (da nicht schnittpunktfrei). Parallelität ist transitiv. Wenn h und i nicht parallel sind, dann gilt entweder h parallel zu g oder i parallel zu g. Damit gibt es wieder nur eine Gerade durch P, die zu g parallel ist und nicht zwei.
 --[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 15:49, 14. Jul. 2010 (UTC)

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