Lösung von Aufgabe 2.8 SoSe 2018: Unterschied zwischen den Versionen

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Der Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke lautet:<br />
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'''Satz: (Höhensatz)'''<br />
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: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Quadrates über der Höhe <math>h_c</math> auf die Hypotenuse so groß, wie der Flächeninhalt des Rechtecks, dessen Seitenlängen den Hypotenusenabschnitten <math>q</math> und <math>p</math> entsprechen. <br />
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Kurz: <math>h_c^2=q \cdot p</math><br />
  
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Beweisen Sie den Höhensatz unter Verwendung des Satzes von Pythagoras.<br />
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# Es sei <math> \overline{ABC}</math> ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel <math>\gamma = \angle ACB</math>.
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# Die Höhe <math>h</math> von <math>C</math> auf die Seite <math>c=\overline{AB}</math> habe auf <math>c</math> den Fußpunkt <math>~L</math>.
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# <math> ~L</math> teilt die Hypotenuse <math>c</math> in die beiden Hypotenusenabschnitte <math>q:= \overline{AL}</math> und <math>p:= \overline{LB}</math>.
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# Es gilt also <math>c=q+p</math>.
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# Weil die Höhe <math>h</math> senkrecht auf der Hypotenuse <math>c</math> steht, entstehen die zwei rechtwinklige Teildreiecke <math>\overline{ALC}</math> und <math>\overline{BLC}</math>.
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# Im rechtwinkligen Teildreieck <math>\overline{ALC}</math> ist <math>a= \overline{AC}</math> die Hypotenuse und <math>\angle ALC</math> der rechte Winkel.
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# Im rechtwinkligen Teildreieck <math>\overline{BLC}</math> ist <math>b= \overline{BC}</math> die Hypotenuse und <math>\angle BLC</math> der rechte Winkel.
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\text{Nr.}  & \text{Beweisschritt} & ~ & ~ & \text{Begründung} \\
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\text{(I)} & a^2+b^2 & = &c^2 & \text{1. und Satz des Pythagoras für } \overline{ABC} \\
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\text{(II)} & q^2 + h^2 & = & b^2 & \text{ 6. und Satz des Pythagoras für } \overline{ALC} \\
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\text{(III)} & p^2 + h^2 & = & a^2 & \text{ 7. und Satz des Pythagoras für } \overline{BLC} \\
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\text{(IV)} & a^2+b^2 &= &(q+p)^2 & \text{4. und (I)} \\
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\text{(V)} & a^2 + b^2 &= & q^2 +2qp + q^2 & \text{(IV)} \\
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\text{(VI)} & p^2 + h^2 + q^2 + h^2 &= & q^2 +2qp + q^2 & \text{ (III), (IV), (V)} \\
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\text{(VII)} & 2h^2 &= & 2qp & \text{(VI)} \\
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\text{(VIII)} & h^2 &= & qp & \text{ (VII), q.e.d.} \\
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Aktuelle Version vom 22. Mai 2018, 12:26 Uhr

Aufgabe 2.8 SoSe 2018

Der Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke lautet:
Satz: (Höhensatz)

In jedem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Quadrates über der Höhe h_c auf die Hypotenuse so groß, wie der Flächeninhalt des Rechtecks, dessen Seitenlängen den Hypotenusenabschnitten q und p entsprechen.

Kurz: h_c^2=q \cdot p

Beweisen Sie den Höhensatz unter Verwendung des Satzes von Pythagoras.

Lösung

  1. Es sei \overline{ABC} ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel \gamma = \angle ACB.
  2. Die Höhe h von C auf die Seite c=\overline{AB} habe auf c den Fußpunkt ~L.
  3. ~L teilt die Hypotenuse c in die beiden Hypotenusenabschnitte q:= \overline{AL} und p:= \overline{LB}.
  4. Es gilt also c=q+p.
  5. Weil die Höhe h senkrecht auf der Hypotenuse c steht, entstehen die zwei rechtwinklige Teildreiecke \overline{ALC} und \overline{BLC}.
  6. Im rechtwinkligen Teildreieck \overline{ALC} ist a= \overline{AC} die Hypotenuse und \angle ALC der rechte Winkel.
  7. Im rechtwinkligen Teildreieck \overline{BLC} ist b= \overline{BC} die Hypotenuse und \angle BLC der rechte Winkel.

\begin{matrix} \text{Nr.} & \text{Beweisschritt} & ~ & ~ & \text{Begründung} \\ \text{(I)} & a^2+b^2 & = &c^2 & \text{1. und Satz des Pythagoras für } \overline{ABC} \\ \text{(II)} & q^2 + h^2 & = & b^2 & \text{ 6. und Satz des Pythagoras für } \overline{ALC} \\ \text{(III)} & p^2 + h^2 & = & a^2 & \text{ 7. und Satz des Pythagoras für } \overline{BLC} \\ \text{(IV)} & a^2+b^2 &= &(q+p)^2 & \text{4. und (I)} \\ \text{(V)} & a^2 + b^2 &= & q^2 +2qp + q^2 & \text{(IV)} \\ \text{(VI)} & p^2 + h^2 + q^2 + h^2 &= & q^2 +2qp + q^2 & \text{ (III), (IV), (V)} \\ \text{(VII)} & 2h^2 &= & 2qp & \text{(VI)} \\ \text{(VIII)} & h^2 &= & qp & \text{ (VII), q.e.d.} \\ \end{matrix}

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