Aufgabe 2.8 SoSe 2018
Der Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke lautet:
Satz: (Höhensatz)
- In jedem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Quadrates über der Höhe
auf die Hypotenuse so groß, wie der Flächeninhalt des Rechtecks, dessen Seitenlängen den Hypotenusenabschnitten und entsprechen.
Kurz: ![h_c^2=q \cdot p](/images/math/a/6/1/a61f5602e08cd9c849b40a10b8d47606.png)
Beweisen Sie den Höhensatz unter Verwendung des Satzes von Pythagoras.
Lösung
- Es sei
ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel .
- Die Höhe
von auf die Seite habe auf den Fußpunkt .
-
teilt die Hypotenuse in die beiden Hypotenusenabschnitte und .
- Es gilt also
.
- Weil die Höhe
senkrecht auf der Hypotenuse steht, entstehen die zwei rechtwinklige Teildreiecke und .
- Im rechtwinkligen Teildreieck
ist die Hypotenuse und der rechte Winkel.
- Im rechtwinkligen Teildreieck
ist die Hypotenuse und der rechte Winkel.
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