Der Umkreis und die Mittelsenkrechten eines Dreiecks: Unterschied zwischen den Versionen
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+ | ::Unter den Mittelsenkrechten eines Dreiecks versteht man die Mittelsenkrechten der Seiten dieses Dreiecks. | ||
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::Wenn ein Kreis <math>\ k</math> durch die Eckpunkte <math>\ A , B, C</math> des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> geht, dann ist <math>\ k</math> der Umkreis des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>. | ::Wenn ein Kreis <math>\ k</math> durch die Eckpunkte <math>\ A , B, C</math> des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> geht, dann ist <math>\ k</math> der Umkreis des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>. | ||
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+ | ===== Satz XIII.1 (Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks) ===== | ||
+ | ::Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden einander in genau einem Punkt. | ||
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+ | '''Beweis: Existenz und Eindeutigkeit eines Schnittpunktes der Mittelsenkrechten eines Dreiecks''' | ||
+ | <br />Man muss also beweisen, dass es... | ||
+ | ::(1) einen Schnittpunkt aller drei Mittelsenkrechten gibt | ||
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+ | Dies findet jedoch nicht in diesen zwei Schritten wie üblich statt, da andere Grundvoraussetzungen geklärt werden müssen. | ||
+ | Zur besseren Veranschaulichung sei die Vorgehensweise: | ||
+ | ::(a) Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich: vielleicht in einem, vielleicht in drei verschiedenen Punkten (Grundvoraussetzung) | ||
+ | ::(b) Es existiert ein Schnittpunkt von zwei Mittelsenkrechten | ||
+ | ::(c) Es existiert ein Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten aus (b) und der dritten Mittelsenkrechten | ||
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+ | Etwas formloser nun ohne Voraussetzung und Behauptung: | ||
+ | ::(a) Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich: vielleicht in einem, vielleicht in drei verschiedenen Punkten (Grundvoraussetzung) | ||
+ | :::(I) Die drei Eckpunkte des Dreiecks sind nicht kollinear (Konstruktion eines Dreiecks) | ||
+ | :::(II) Daraus resultieren drei Geraden <math>\ AB, BC, AC</math>, die paarweise nicht identisch sind (I) | ||
+ | :::(III) "Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam." (Satz I.1) | ||
+ | :::(III)a Keine Seite eines Dreiecks kann parallel zu einer zweiten Seite des Dreiecks sein. | ||
+ | :::(IV) Die Senkrechten auf zwei nicht-identischen, nicht-parallen Geraden schneiden sich (da nur die Senkrechten von parallelen Geraden schnittpunktfrei sind --> die Senkrechte zur Senkrechten einer Gerade ist die Parallele zur Geraden) | ||
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+ | ::(b) Es existiert ein Schnittpunkt von zwei Mittelsenkrechten | ||
+ | :::(I) Alle Punkte <math>P_\mathrm{mb} \in m_b</math> haben selben Abstand zu <math>\ A</math> und <math>\ C</math> (Mittelsenkrechtenkriterium) | ||
+ | :::(II) Alle Punkte <math>P_\mathrm{ma} \in m_a</math> haben selben Abstand zu <math>\ B</math> und <math>\ C</math> (Mittelsenkrechtenkriterium) | ||
+ | :::(III) <math>\ m_b</math> und <math>\ m_a</math> schneiden sich in <math>\ S</math> (Existenz des Schnittpunktes nach Teil (a) bewiesen) | ||
+ | :::(IV) Da <math>S \in m_b \wedge S \in m_a</math> gilt <math>\ |AS| = |CS|</math> und <math>\ |BS| = |CS|</math> | ||
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+ | ::(c) Es existiert ein Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten aus (b) und der dritten Mittelsenkrechten | ||
+ | :::(I) Es gilt <math>\ |AS| = |CS|</math> und <math>\ |BS| = |CS|</math> nach (b)(IV) | ||
+ | :::(II) Es gilt auch <math>\ |AS| = |BS|</math> nach (I) (Transitivität, Umformung) | ||
+ | :::(III) Es gilt somit auch: <math>S \in m_c</math> (Mittelsenkrechtenkriterium) | ||
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+ | Es existiert genau ein Schnittpunkt! | ||
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+ | Muss man die Eindeutigkeit jetzt noch beweisen? Und wenn nicht: warum nicht? | ||
+ | <br />Noch eine Bonus-Frage: Wieso ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks? --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 15:00, 22. Jul. 2010 (UTC) | ||
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+ | <br />Kommentar --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:14, 22. Jul. 2010 (UTC) | ||
+ | Du hast die Eindeutigkeit (m.E.) durch die "Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten" und nach Satz I/1 (Es seien g und h zwei verschiedene Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, so haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.) gegeben. Ich denke, dass man das noch als Kommentar darunter schreiben sollte. |
Aktuelle Version vom 26. Juli 2010, 18:41 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Umkreis eines Dreiecks
Definition XIII.1 : (Mittelsenkrechten eines Dreiecks)
- Unter den Mittelsenkrechten eines Dreiecks versteht man die Mittelsenkrechten der Seiten dieses Dreiecks.
Definition XIII.2 : (Umkreis eines Dreiecks)
- Wenn ein Kreis durch die Eckpunkte des Dreiecks geht, dann ist der Umkreis des Dreiecks .
Satz XIII.1 (Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks)
- Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden einander in genau einem Punkt.
Beweis: Existenz und Eindeutigkeit eines Schnittpunktes der Mittelsenkrechten eines Dreiecks
Man muss also beweisen, dass es...
- (1) einen Schnittpunkt aller drei Mittelsenkrechten gibt
- (2) GENAU einen Schnittpunkt gibt
Dies findet jedoch nicht in diesen zwei Schritten wie üblich statt, da andere Grundvoraussetzungen geklärt werden müssen. Zur besseren Veranschaulichung sei die Vorgehensweise:
- (a) Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich: vielleicht in einem, vielleicht in drei verschiedenen Punkten (Grundvoraussetzung)
- (b) Es existiert ein Schnittpunkt von zwei Mittelsenkrechten
- (c) Es existiert ein Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten aus (b) und der dritten Mittelsenkrechten
Etwas formloser nun ohne Voraussetzung und Behauptung:
- (a) Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich: vielleicht in einem, vielleicht in drei verschiedenen Punkten (Grundvoraussetzung)
- (I) Die drei Eckpunkte des Dreiecks sind nicht kollinear (Konstruktion eines Dreiecks)
- (II) Daraus resultieren drei Geraden , die paarweise nicht identisch sind (I)
- (III) "Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam." (Satz I.1)
- (III)a Keine Seite eines Dreiecks kann parallel zu einer zweiten Seite des Dreiecks sein.
- (IV) Die Senkrechten auf zwei nicht-identischen, nicht-parallen Geraden schneiden sich (da nur die Senkrechten von parallelen Geraden schnittpunktfrei sind --> die Senkrechte zur Senkrechten einer Gerade ist die Parallele zur Geraden)
- (a) Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich: vielleicht in einem, vielleicht in drei verschiedenen Punkten (Grundvoraussetzung)
- (b) Es existiert ein Schnittpunkt von zwei Mittelsenkrechten
- (I) Alle Punkte haben selben Abstand zu und (Mittelsenkrechtenkriterium)
- (II) Alle Punkte haben selben Abstand zu und (Mittelsenkrechtenkriterium)
- (III) und schneiden sich in (Existenz des Schnittpunktes nach Teil (a) bewiesen)
- (IV) Da gilt und
- (b) Es existiert ein Schnittpunkt von zwei Mittelsenkrechten
- (c) Es existiert ein Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten aus (b) und der dritten Mittelsenkrechten
- (I) Es gilt und nach (b)(IV)
- (II) Es gilt auch nach (I) (Transitivität, Umformung)
- (III) Es gilt somit auch: (Mittelsenkrechtenkriterium)
- (c) Es existiert ein Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten aus (b) und der dritten Mittelsenkrechten
Es existiert genau ein Schnittpunkt!
Muss man die Eindeutigkeit jetzt noch beweisen? Und wenn nicht: warum nicht?
Noch eine Bonus-Frage: Wieso ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks? --Heinzvaneugen 15:00, 22. Jul. 2010 (UTC)
Kommentar --Löwenzahn 15:14, 22. Jul. 2010 (UTC)
Du hast die Eindeutigkeit (m.E.) durch die "Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten" und nach Satz I/1 (Es seien g und h zwei verschiedene Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, so haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.) gegeben. Ich denke, dass man das noch als Kommentar darunter schreiben sollte.