Das Euklidische Parallelenaxiom: Unterschied zwischen den Versionen
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=== Der Stufenwinkelsatz === | === Der Stufenwinkelsatz === | ||
===== Satz XII.1: (Stufenwinkelsatz) ===== | ===== Satz XII.1: (Stufenwinkelsatz) ===== | ||
− | Es seien <math> a </math> und <math> b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Stufenwinkel sind kongruent. | + | Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Stufenwinkel sind kongruent zueinander.<br /> |
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+ | Ist das ok?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:33, 16. Jul. 2010 (UTC) | ||
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+ | Beweis: [[Lösung von Aufgabe 12.10]] | ||
=== Der Wechselwinkelsatz === | === Der Wechselwinkelsatz === | ||
===== Satz XII.2: (Wechselwinkelsatz) ===== | ===== Satz XII.2: (Wechselwinkelsatz) ===== | ||
+ | Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Wechselwinkel sind kongruent zueinander.<br /> | ||
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+ | Die Umkehrung würde doch auch gehen, oder?<br /> | ||
+ | Versuch:<br /> | ||
+ | Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei verschiedene Geraden, durch durch eine weitere Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Wenn die bei diesem Schnitt entstehenden Wechselwinkel kongruent zueinander sind, so sind die Geraden <math> \ a </math> und <math> \ b </math> parallel zueinander. <br /> | ||
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+ | Ist das ok?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:33, 16. Jul. 2010 (UTC) | ||
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=== Der Satz über die entgegengesetzt liegenden Winkel an geschnittenen Parallelen === | === Der Satz über die entgegengesetzt liegenden Winkel an geschnittenen Parallelen === | ||
===== Satz XII.3 ===== | ===== Satz XII.3 ===== | ||
+ | Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel sind supplementär zueinander.<br /> | ||
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+ | ===== Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel===== | ||
+ | Die Umkehrung würde doch auch gehen, oder?<br /> | ||
+ | '''Versuch 1:'''<br /> | ||
+ | Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei verschiedene Geraden, durch durch eine weitere Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Wenn die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel <s>kongruent</s> supplementär zueinander sind, so sind die Geraden <math> \ a </math> und <math> \ b </math> parallel zueinander. <br /> | ||
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+ | Ist das ok? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:34, 16. Jul. 2010 (UTC) | ||
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+ | Sind entgegengesetzt liegende Winkel wirklich kongruent zueinander, überlegen Sie nochmal?! --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 11:48, 19. Jul. 2010 (UTC) | ||
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+ | Oh, supplementär... habe es hoffentlich richtig verbessert.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:55, 20. Jul. 2010 (UTC) | ||
+ | <br />Dann muss es aber im Satz XII.3 ebenfalls supplementär heißen, oder? --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 20:44, 23. Jul. 2010 (UTC) | ||
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+ | <br />'''Versuch 2:'''<br /> | ||
+ | Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei verschiedene Geraden, durch durch eine weitere Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Wenn die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel supplementär sind, die Größen sich also auf 180 summieren, so sind die Geraden <math> \ a </math> und <math> \ b </math> parallel zueinander. <br /> | ||
+ | <br />Begründung: Der jeweilige Nebenwinkel des einen Winkels ist entweder Stufenwinkel oder Wechselwinkel bezüglich des anderen Winkels, die wiederum kongruent zueinander sind. | ||
+ | <br />Winkel <math> \alpha \ </math> (Scheitelpunkt ist Schnittpunkt von <math> \ a </math> und <math> \ c </math>) | ||
+ | <br />Winkel <math> \beta\ </math> (Scheitelpunkt ist Schnittpunkt von <math> \ b </math> und <math> \ c </math>) | ||
+ | <br />Winkel <math> \beta' \ </math> (Nebenwinkel zu <math> \beta \ </math>) ist Stufenwinkel (analog: Wechselwinkel) zu <math> \beta\ </math> | ||
+ | <br />Wenn <math>a \| b</math>, dann ist <math>\alpha \cong \beta'</math> und da (wg. Supplementaxiom) gilt, dass <math>\ |\beta| + |\beta'| = 180</math>, gilt auch <math>\ |\alpha| + |\beta| = 180</math>. | ||
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+ | <br />Überlegung --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:02, 20. Jul. 2010 (UTC): Ist das der Beweis für die Implikation oder die Umkehrung des Satzes zu entgegengesetzt liegende Winkel??? | ||
+ | |||
+ | Ich denke es ist der Beweis für die Implikation. Da du ja von Parallelen ausgehst und zeigst, dass die Winkel 180 ergeben. Aber oben hast du noch die Umkehrung stehen, das müsste geändert werden.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 10:46, 26. Jul. 2010 (UTC) | ||
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+ | '''Beweis Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel''' | ||
+ | |||
+ | Anmerkung: kopiert aus Ruprik "Üben...Üben...Üben..." | ||
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+ | VSS: c schneidet a und c schneidet b, oBdA <math> \alpha </math> und <math>\alpha^' </math> sind entgegengesetzt liegende Winkel, <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math> <br /> | ||
+ | Beh: <math> a \|b </math><br /> | ||
+ | ANN: <math> a\not\|b </math> --> es existiert ein Punkt S, der in der Schnittmenge von a und b liegt. | ||
+ | |||
+ | '''1. Der Schnitt der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, ist die leere Menge.''' | ||
+ | {| class="wikitable " | ||
+ | |+ Beweis | ||
+ | ! Nr. | ||
+ | ! Beweisschritt | ||
+ | ! Begründung | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(I) | ||
+ | | <math> |\alpha| + |\beta| = 180 </math> --> <math> |\beta| = 180 - |\alpha| </math> | ||
+ | | (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen) | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(II) | ||
+ | | <math> |\alpha^'| + |\beta^'| = 180 </math> --> <math> |\beta^'| = 180 - |\alpha^'| </math> | ||
+ | | (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen) | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(III) | ||
+ | | <math> |\beta| + |\beta^'| + |\gamma| = 180 </math> | ||
+ | | (Innenwinkelsumme im Dreieck) | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(IV) | ||
+ | | <math> 180 - |\alpha| + 180 - |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math> | ||
+ | | (I), (II), (III), (rechnen mit reellen Zahlen) | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(V) | ||
+ | | <math> |\alpha| + |\alpha^'| - |\gamma| = 180 </math> | ||
+ | | (IV), (rechnen mit reellen Zahlen) | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(VI) | ||
+ | | da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | '''2. Die Schnittmenge der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, bildet eine Strecke.''' | ||
+ | {| class="wikitable " | ||
+ | |+ Beweis | ||
+ | ! Nr. | ||
+ | ! Beweisschritt | ||
+ | ! Begründung | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(I) | ||
+ | | <math> |\alpha| + |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math> | ||
+ | | (Innenwinkelsumme im Dreieck) | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(II) | ||
+ | | da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt | ||
+ | |}<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:30, 24. Jul. 2010 (UTC) |
Aktuelle Version vom 26. Juli 2010, 12:46 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Geschichte des Parallelenaxioms
Vater und Sohn Bolyai
Du darfst die Parallelen nicht auf jenem Wege versuchen; ich kenne
diesen Weg bis an sein Ende — auch ich habe diese bodenlose Nacht
durchmessen, jedes Licht, jede Freude meines Lebens sind in ihr ausgelöscht worden — ich beschwöre Dich bei Gott — laß die Lehre von
den Parallelen in Frieden. . . sie kann Dich um all Deine Ruhe, Deine
Gesundheit und um Dein ganzes Lebensglück bringen. . . .Wenn
ich die Parallelen hätte entdecken können, so wäre ich ein Engel geworden.
. . . Es ist unbegreiflich, daß diese unabwendbare Dunkelheit,
diese ewige Sonnenfinsternis, dieser Makel der Geometrie zugelassen
wurde, diese ewige Wolke an der jungfräulichen Wahrheit.
Farkas Bolyai (in einem Brief an seinen Sohn Janos Bolyai, 1820)
([1], S. 162)
http://de.wikipedia.org/wiki/Farkas_Bolyai
http://de.wikipedia.org/wiki/Janos_Bolyai
Carl Friedrich Gauß
http://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F
Николай Иванович Лобачевский
http://de.wikipedia.org/wiki/Lobatschewski
Das Euklidische Parallelenaxiom
EP
- Zu jedem Punkt
außerhalb einer Geraden
gibt es höchstens eine Gerade
, die durch
geht und zu
parallel ist.
- Zu jedem Punkt
Sätze über Winkel an geschnittenen Parallelen
Der Stufenwinkelsatz
Satz XII.1: (Stufenwinkelsatz)
Es seien und
zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade
geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Stufenwinkel sind kongruent zueinander.
Ist das ok?--Löwenzahn 16:33, 16. Jul. 2010 (UTC)
Beweis: Lösung von Aufgabe 12.10
Der Wechselwinkelsatz
Satz XII.2: (Wechselwinkelsatz)
Es seien und
zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade
geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Wechselwinkel sind kongruent zueinander.
Die Umkehrung würde doch auch gehen, oder?
Versuch:
Es seien und
zwei verschiedene Geraden, durch durch eine weitere Gerade
geschnitten werden. Wenn die bei diesem Schnitt entstehenden Wechselwinkel kongruent zueinander sind, so sind die Geraden
und
parallel zueinander.
Ist das ok?--Löwenzahn 16:33, 16. Jul. 2010 (UTC)
Der Satz über die entgegengesetzt liegenden Winkel an geschnittenen Parallelen
Satz XII.3
Es seien und
zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade
geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel sind supplementär zueinander.
Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel
Die Umkehrung würde doch auch gehen, oder?
Versuch 1:
Es seien und
zwei verschiedene Geraden, durch durch eine weitere Gerade
geschnitten werden. Wenn die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel
kongruent supplementär zueinander sind, so sind die Geraden und
parallel zueinander.
Ist das ok? --Löwenzahn 16:34, 16. Jul. 2010 (UTC)
Sind entgegengesetzt liegende Winkel wirklich kongruent zueinander, überlegen Sie nochmal?! --Schnirch 11:48, 19. Jul. 2010 (UTC)
Oh, supplementär... habe es hoffentlich richtig verbessert.--Löwenzahn 15:55, 20. Jul. 2010 (UTC)
Dann muss es aber im Satz XII.3 ebenfalls supplementär heißen, oder? --Barbarossa 20:44, 23. Jul. 2010 (UTC)
Versuch 2:
Es seien und
zwei verschiedene Geraden, durch durch eine weitere Gerade
geschnitten werden. Wenn die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel supplementär sind, die Größen sich also auf 180 summieren, so sind die Geraden
und
parallel zueinander.
Begründung: Der jeweilige Nebenwinkel des einen Winkels ist entweder Stufenwinkel oder Wechselwinkel bezüglich des anderen Winkels, die wiederum kongruent zueinander sind.
Winkel (Scheitelpunkt ist Schnittpunkt von
und
)
Winkel (Scheitelpunkt ist Schnittpunkt von
und
)
Winkel (Nebenwinkel zu
) ist Stufenwinkel (analog: Wechselwinkel) zu
Wenn , dann ist
und da (wg. Supplementaxiom) gilt, dass
, gilt auch
.
Überlegung --Löwenzahn 16:02, 20. Jul. 2010 (UTC): Ist das der Beweis für die Implikation oder die Umkehrung des Satzes zu entgegengesetzt liegende Winkel???
Ich denke es ist der Beweis für die Implikation. Da du ja von Parallelen ausgehst und zeigst, dass die Winkel 180 ergeben. Aber oben hast du noch die Umkehrung stehen, das müsste geändert werden.--Frühling 10:46, 26. Jul. 2010 (UTC)
Beweis Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel
Anmerkung: kopiert aus Ruprik "Üben...Üben...Üben..."
VSS: c schneidet a und c schneidet b, oBdA und
sind entgegengesetzt liegende Winkel,
Beh:
ANN: --> es existiert ein Punkt S, der in der Schnittmenge von a und b liegt.
1. Der Schnitt der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, ist die leere Menge.
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | ![]() ![]() |
(Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen) |
(II) | ![]() ![]() |
(Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen) |
(III) | ![]() |
(Innenwinkelsumme im Dreieck) |
(IV) | ![]() |
(I), (II), (III), (rechnen mit reellen Zahlen) |
(V) | ![]() |
(IV), (rechnen mit reellen Zahlen) |
(VI) | da nach VSS gilt ![]() ![]() |
2. Die Schnittmenge der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, bildet eine Strecke.
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | ![]() |
(Innenwinkelsumme im Dreieck) |
(II) | da nach VSS gilt ![]() ![]() |
--Löwenzahn 11:30, 24. Jul. 2010 (UTC)