Lösung von Aufgabe 13.5: Unterschied zwischen den Versionen
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Da es sich bei diesem Satz um eine Äquivalenzrelation handelt ("genau dann") muss die "Hin- und Rückrichtung" bewiesen werden. <br /> | Da es sich bei diesem Satz um eine Äquivalenzrelation handelt ("genau dann") muss die "Hin- und Rückrichtung" bewiesen werden. <br /> | ||
− | '''1. Hinrichtung:''' "Wenn ein Punkt P zu den Schenkeln von <math> \alpha </math> jeweils denselben Abstand hat, dann gehört er zur Winkelhalbierenden des Winkels <math> \alpha </math>."<br /> | + | '''1. Hinrichtung:''' "Wenn ein Punkt P zu den Schenkeln von <math>\ \alpha </math> jeweils denselben Abstand hat, dann gehört er zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\ \alpha </math>."<br /> |
VSS: <math>\overline{PB} \cong \overline{PA} </math>, <math> \alpha \cong \angle ASB \cong \angle pq </math><br /> | VSS: <math>\overline{PB} \cong \overline{PA} </math>, <math> \alpha \cong \angle ASB \cong \angle pq </math><br /> | ||
− | Beh: <math> P \in </math> Winkelhalbierende von <math> \alpha </math><br /> | + | Beh: <math> P \in </math> Winkelhalbierende von <math>\ \alpha </math><br /> |
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+ | Kommentar --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 16:18, 20. Jul. 2010 (UTC): siehe Diskussion | ||
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− | | <math> A </math> sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl <math> p </math> und B sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl <math> q </math> | + | | <math>\ A </math> sei der Lotfußpunkt von <math>\ P</math> auf den Strahl <math>\ p </math> und <math> \ B</math> sei der Lotfußpunkt von <math>\ P</math> auf den Strahl <math>\ q </math> |
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− | | <math>| \angle ASP| + \angle BSP|= \angle ASB| | + | | <math>| \angle ASP| + \angle BSP|= |\angle ASB| \rightarrow |\angle ASP| + | \angle ASP| =|\angle ASB| </math> |
| (IX), (Def. Winkelhalbierende), (Winkeladditionsaxiom) | | (IX), (Def. Winkelhalbierende), (Winkeladditionsaxiom) | ||
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− | | <math> {SP^{+}} \cong </math> Winkelhalbierenden von <math> \alpha </math> --> <math> P \in </math> Winkelhalbierende von <math> \alpha </math> | + | | <math> {SP^{+}} \cong </math> Winkelhalbierenden von <math> \alpha \ </math> --> <math>\ P \in </math> Winkelhalbierende von <math>\ \alpha </math> |
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− | '''2. Rückrichtung:''' "Wenn ein Punkt P zur Winkelhalbierenden des Winkels <math> \alpha </math> gehört, dann hat er zu den Schenkeln von <math> \alpha </math> jeweils denselben Abstand."<br /> | + | '''2. Rückrichtung:''' "Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\ \alpha </math> gehört, dann hat er zu den Schenkeln von <math>\ \alpha </math> jeweils denselben Abstand."<br /> |
− | VSS: <math> P \in </math> Winkelhalbierende von <math> \alpha </math> <math> \alpha \cong \angle ASB \cong \angle pq </math> | + | VSS: <math> P \in </math> Winkelhalbierende von <math>\ \alpha </math> und <math> \alpha \cong \angle ASB \cong \angle pq </math> |
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Beh: <math>\overline{PB} \cong \overline{PA} </math><br /> | Beh: <math>\overline{PB} \cong \overline{PA} </math><br /> | ||
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− | | <math> P \in </math> Winkelhalbierende von <math> \alpha </math> | + | | <math>\ P \in </math> Winkelhalbierende von <math>\ \alpha </math> |
| (VSS) | | (VSS) | ||
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− | | <math> A </math> sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl <math> p </math> und B sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl <math> q </math> | + | | <math>\ A </math> sei der Lotfußpunkt von <math>\ P</math> auf den Strahl <math>\ p </math> und <math>\ B</math> sei der Lotfußpunkt von <math>\ P</math> auf den Strahl <math>\ q </math> |
| (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) | | (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) | ||
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Aktuelle Version vom 20. Juli 2010, 18:48 Uhr
Man beweise: Ein Punkt gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels , wenn er zu den Schenkeln von jeweils denselben Abstand hat.
Versuch 1
Da es sich bei diesem Satz um eine Äquivalenzrelation handelt ("genau dann") muss die "Hin- und Rückrichtung" bewiesen werden.
1. Hinrichtung: "Wenn ein Punkt P zu den Schenkeln von jeweils denselben Abstand hat, dann gehört er zur Winkelhalbierenden des Winkels ."
VSS: ,
Beh: Winkelhalbierende von
Kommentar --Heinzvaneugen 16:18, 20. Jul. 2010 (UTC): siehe Diskussion
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | sei der Lotfußpunkt von auf den Strahl und sei der Lotfußpunkt von auf den Strahl | (Existenz und Eindeutigkeit Lot) |
(II) | (VSS) | |
(III) | (trivial) | |
(IV) | (Definition Lot) | |
(V) | ist größter Winkel im Dreieck | (Satz: höchstens ein rechter Winkel im Dreieck), (IV) |
(VI) | ist größter Winkel im Dreieck | (Satz: höchstens ein rechter Winkel im Dreieck), (IV) |
(VII) | liegt der Seite gegenüber liegt der Seite gegenüber |
(Satz: größter Winkel liegt längsten Seite gegenüber),(V), (VI) |
(VIII) | (SSW), (VII), (IV), (III), (II) | |
(IX) | (VIII), (Def. Dreieckskongruenz) | |
(X) | (IX), (Def. Winkelhalbierende), (Winkeladditionsaxiom) | |
(XI) | Winkelhalbierenden von --> Winkelhalbierende von | (X) |
--> Beh. wahr qed
2. Rückrichtung: "Wenn ein Punkt zur Winkelhalbierenden des Winkels gehört, dann hat er zu den Schenkeln von jeweils denselben Abstand."
VSS: Winkelhalbierende von und
Beh:
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Winkelhalbierende von | (VSS) |
(II) | sei der Lotfußpunkt von auf den Strahl und sei der Lotfußpunkt von auf den Strahl | (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) |
(III) | (II), (Def. Lot) | |
(IV) | (Def. Winkelhalbierende) | |
(V) | (Innenwinkelsumme im Dreieck) | |
(VI) | (Innenwinkelsumme im Dreieck) | |
(VII) | (V), (VI), (rechnen mit reellen Zahlen) | |
(VIII) | (VII), (IV), (rechnen mit reellen Zahlen) | |
(IX) | (IX), (III), (rechnen mit reellen Zahlen) | |
(X) | (trivial) | |
(XI) | (WSW), (X), (IX), (IV) | |
(XII) | (XI), (Def. Dreieckskongruenz) |
-->Beh wahr. qed
Somit ist die Äquivalenz gezeigt --Löwenzahn 11:35, 17. Jul. 2010 (UTC)