Lösung von Aufgabe 13.5
Man beweise: Ein Punkt gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels
, wenn er zu den Schenkeln von
jeweils denselben Abstand hat.
Versuch 1
Da es sich bei diesem Satz um eine Äquivalenzrelation handelt ("genau dann") muss die "Hin- und Rückrichtung" bewiesen werden.
1. Hinrichtung: "Wenn ein Punkt P zu den Schenkeln von jeweils denselben Abstand hat, dann gehört er zur Winkelhalbierenden des Winkels
."
VSS: ,
Beh: Winkelhalbierende von
Kommentar --Heinzvaneugen 16:18, 20. Jul. 2010 (UTC): siehe Diskussion
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(Existenz und Eindeutigkeit Lot) |
(II) | ![]() |
(VSS) |
(III) | ![]() |
(trivial) |
(IV) | ![]() |
(Definition Lot) |
(V) | ![]() ![]() |
(Satz: höchstens ein rechter Winkel im Dreieck), (IV) |
(VI) | ![]() ![]() |
(Satz: höchstens ein rechter Winkel im Dreieck), (IV) |
(VII) | ![]() ![]() ![]() ![]() |
(Satz: größter Winkel liegt längsten Seite gegenüber),(V), (VI) |
(VIII) | ![]() |
(SSW), (VII), (IV), (III), (II) |
(IX) | ![]() |
(VIII), (Def. Dreieckskongruenz) |
(X) | ![]() |
(IX), (Def. Winkelhalbierende), (Winkeladditionsaxiom) |
(XI) | ![]() ![]() ![]() ![]() |
(X) |
--> Beh. wahr qed
2. Rückrichtung: "Wenn ein Punkt zur Winkelhalbierenden des Winkels
gehört, dann hat er zu den Schenkeln von
jeweils denselben Abstand."
VSS: Winkelhalbierende von
und
Beh:
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | ![]() ![]() |
(VSS) |
(II) | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) |
(III) | ![]() |
(II), (Def. Lot) |
(IV) | ![]() |
(Def. Winkelhalbierende) |
(V) | ![]() |
(Innenwinkelsumme im Dreieck) |
(VI) | ![]() |
(Innenwinkelsumme im Dreieck) |
(VII) | ![]() |
(V), (VI), (rechnen mit reellen Zahlen) |
(VIII) | ![]() |
(VII), (IV), (rechnen mit reellen Zahlen) |
(IX) | ![]() |
(IX), (III), (rechnen mit reellen Zahlen) |
(X) | ![]() |
(trivial) |
(XI) | ![]() |
(WSW), (X), (IX), (IV) |
(XII) | ![]() |
(XI), (Def. Dreieckskongruenz) |
-->Beh wahr. qed
Somit ist die Äquivalenz gezeigt --Löwenzahn 11:35, 17. Jul. 2010 (UTC)