Lösung von Aufgabe 12.6: Unterschied zwischen den Versionen

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| das Maß von <math> | \angle PQR| = \alpha </math> im Punkt <math>\ P </math> an Gerade <math>\ PQ </math>, am Strahl <math>\ {PQ^{-}}</math> in der Halbebene <math>\ {PQ,R^{+}}</math> abtragen. Es exisitert genau ein <math>\ {PS^{+}}</math> mit dem Maß <math>\ |\alpha{'}| = | \alpha| </math>
 
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Aktuelle Version vom 17. Juli 2010, 12:51 Uhr

Beweisen Sie: Wenn \ P ein Punkt außerhalb der Geraden \ g ist, dann gibt es eine Gerade \ h, die durch \ P geht und parellel zu \ g ist.


Versuch 1

VSS: Punkt \ P , Gerade \ g , P \not \in g
Beh: Gerade \ h , P \in h, g \| h


Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) \exist Q: Q \in g , \exist R: R \in g (Axiom I.0)
(II) Gerade \ PQ (Axiom I.1)
(III) das Maß von | \angle PQR| = \alpha im Punkt \ P an Gerade \ PQ , am Strahl \ {PQ^{-}} in der Halbebene \ {PQ,R^{+}} abtragen. Es exisitert genau ein \ {PS^{+}} mit dem Maß \ |\alpha{'}| = | \alpha| (Winkelkonstruktionsaxiom), (Winkelmaßaxiom), (I), (II)
(IV) \ \alpha' , \alpha sind Stufenwinkel (III), (Def. Stufenwinkel)
(V) \ PS = \ h (Axiom I.1)
(V) \ g \| h (Umkehrung Stufenwinkelsatz), (IV), (V)

--> Beh ist wahr.
--Löwenzahn 11:07, 14. Jul. 2010 (UTC)

Versuch 2

Mal wieder formlos: folgender Vorschlag:

Zu beweisen sind Existenz und Eindeutigkeit.
Die Gerade h, die durch den Punkt P geht kann sich zu g auf drei Arten verhalten:

  1. Fall: ist identisch => Widerspruch zur Voraussetzung
  2. Fall: schneidet h
  3. Fall: ist parallel zu h, also schnittpunktfrei


Fall 2 und 3 sind laut Vor. möglich, also existiert auf jeden Fall eine parallele Gerade.
Die Eindeutigkeit beweise ich indirekt.
Annahme: Es gibt genau zwei Parallelen durch P, die zu g parallel stehen, nämlich h und i, die nicht identisch sind.
(1) P ist sowohl Element von h, als auch von i. Die Geraden h und i sind damit identisch (Widerspruch Annahme) oder P ist ihr Schnittpunkt. Damit sind i und h aber nicht zueinander parallel (da nicht schnittpunktfrei). Parallelität ist transitiv. Wenn h und i nicht parallel sind, dann gilt entweder h parallel zu g oder i parallel zu g. Damit gibt es wieder nur eine Gerade durch P, die zu g parallel ist und nicht zwei. --Nicola 15:49, 14. Jul. 2010 (UTC)

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