Serie 1 Geradengleichungen in der Ebene: Unterschied zwischen den Versionen

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=Aufgabe 3=
 
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Eine Gerade <math>g</math> habe ein Anstiegsdreieck, dessen zur <math>y-</math> Achse parallele Kathete die Länge <math>\Delta y</math> hat. Die andere Kathete möge die Länge <math>\Delta x</math> haben. Geben sie fünf Vektoren <math>\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}, \overrightarrow{n_3}, \overrightarrow{n_4}, \overrightarrow{n_5}</math> an, die bezüglich <math>g</math> Normalenvektoren sind.
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Eine Gerade <math>g</math> habe ein Anstiegsdreieck, dessen zur <math>y-</math> Achse parallele Kathete die Länge <math>\Delta y</math> hat. Die andere Kathete möge die Länge <math>\Delta x</math> haben. Geben sie fünf Vektoren <math>\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}, \overrightarrow{n_3}, \overrightarrow{n_4}, \overrightarrow{n_5}</math> an, die bezüglich <math>g</math> Normalenvektoren sind. Einer dieser Vektoren möge die Länge <math>1</math> haben, d.h. ein Normaleneinheitsvektor sein.
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=Aufgabe 4=
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Zeichnen Sie auf ein Blatt Papier ein kartesisches Koordinatensystem.
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# Zeichen Sie bezüglich dieses Koordinatensystems die Gerade <math>g</math> ein, die durch die Gleichung  <math>y=\frac{3}{5}x</math> beschrieben wird.
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# Zeichnen Sie bezüglich dieses Koordinatensystems die Gerade <math>h</math> ein, die durch die Gleichung <math>\frac{3}{5}x-\frac{4}{5}=0</math> beschrieben wird.
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# Zeichnen Sie bezüglich dieses Koordinatensystems die Gerade <math>i</math> ein, die durch die Gleichung <math>-3x+4y=0</math> beschrieben wird.
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# Interpretieren Sie die Gleichungen für <math>h</math> und <math>i</math> als <math>ax+by=0</math>. Zeichnen Sie für beide Geraden jeweils die Vektoren <math>\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math> ein.
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# Zeichnen Sie den Punkt <math>P\left(10, \frac{10}{8} \right)</math> ein. Messen Sie den Abstand von <math>P</math> zu <math>g</math>.
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# Berechnen Sie <math>\frac{3}{5}10-\frac{4}{5}\frac{10}{8}=d</math>. Was stellen Sie fest?
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=Aufgabe 5=
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Gegeben sei die Funktion <math>f</math> mittels der Gleichung <math>f(x)=\frac{3}{2}x^2+1</math>. Beschreiben Sie die Tangente <math>t</math> an <math>f</math> im Punkt <math>B(2, f(2)</math> durch Gleichungen der Form
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# <math>y=mx+n</math>
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# <math>ax+by+c=0</math>
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# <math>P=A+t\vec{r}</math>
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=Aufgabe 6=
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Im <math>\mathbb{R}^3</math> sei ein Würfel <math>W</math> mit der Kantenlänge <math>1</math>gegeben. Die Grundfläche von <math>W</math> sei das Quadrat <math>\overline{ABCD}</math>, wobei <math>A</math> auf der positiven <math>x-</math>Achse, <math>B</math> auf der positiven <math>y-</math>Achse, <math>C</math> auf der negativen <math>x-</math>Achse und <math>D</math> auf der negativen <math>y-</math>Achse liegen mögen. Die Deckfläche von <math>W</math> erhalten wir durch Verschiebung der Grundfläche längs des Vektors <math>\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. Der Punkt <math>A</math> wird bei dieser Verschiebung auf den Punkt <math>E</math> abgebildet, desweiteren <math>B</math> auf <math>F</math>, <math>C</math> auf <math>G</math> und schließlich <math>D</math> auf den Punkt <math>H</math>.<br />
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<math>W</math> Wird jetzt einer Drehung mit dem Drehwinkel <math>45^\circ</math> um die <math>z-</math>Achse unterworfen. Geben Sie für die Raumdiagonalen des gedrehten Würfels jeweils eine Parameterdarstellung an, wobei die Richtungsvektoren jeweils Einheitsvektoren sein mögen.
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=Aufgabe 7=
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In der <math>x-z-</math>Ebene des <math>\mathbb{R}^3</math> sei die Funktion <math>f</math> mit <math>z(x)=-x^2+10</math> gegeben. Wir erzeugen mittels Rotation um die <math>z-</math>Achse aus <math>f</math> ein Drehparaboloid <math>P</math>. <math>\varepsilon</math> sei die Ebene, die man erhält, wenn man die <math>y-z-</math>Ebene um <math>30^\circ</math> um die <math>z-</math>Achse dreht. Der Schnitt von <math>\varepsilon</math> mit <math>P</math> ist eine Parabel <math>p</math>. Geben Sie jeweils eine Parameterdarstellung für die beiden Tangenten an <math>p</math> an, die in <math>\varepsilon</math> liegen und deren Berührungspunkte jeweils den Abstand <math>2</math> zur <math>z-</math>Achse haben.
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=Aufgabe 8=
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Die Ebene <math>\varepsilon</math> möge das Koordinatensystem in den Punkten <math>A\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, B\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math> schneiden. Geben Sie eine Gleichung der Form <math>ax+by+cz+d=0</math> zur Beschreibung von <math>\varepsilon</math> an.
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=Aufgabe 9=
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Informieren Sie sich, wie man den Schwerpunkt eines Dreiecks berechnet. Berechnen Sie den Schwerpunkt <math>S</math> des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> aus Aufgabe 8. Lassen Sie das Dreieck mit Geogebra 3D zeichnen und lassen sie ebenso den Schwerpunkt <math>S</math> einzeichnen. Welche Lage hat der Ortsvektor von <math>S</math> bezüglich der Ebene <math>\varepsilon</math>?
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=Aufgabe 10=
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Berechnen Sie die Länge des Ortsvektors von <math>S</math> aus Aufgabe 9.

Aktuelle Version vom 2. Mai 2019, 17:23 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 1

Gegeben seien die Punkte A \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \sqrt{3} +2 \right) und B \left(-\sqrt{\frac{4}{3}} , 0 \right).
Beschreiben Sie die Gerade AB jeweils durch eine Gleichung der Form

  1. y=mx+n
  2. ax+by+c=0
  3. P=A+t\vec{r}

.

Aufgabe 2

Die Gerade g möge die x-Achse unter einem Winkel von 30^\circ im Punkt A\left(\sqrt{2}, 0\right) schneiden.

  1. Zeichnen Sie ein kartesisches Koordinatensystem auf ein Blatt Papier. Konstruieren Sie nur mit Zirkel und Lineal eine grafische Darstellung der Geraden g bezüglich Ihres Koordinatensystems.
  2. Geben Sie eine Gleichung der Form y=mx+n zur Beschreibung von g an.
  3. Geben Sie eine Gleichung der Form ax+by+c=0 zur Beschreibung von g an.
  4. Geben Sie eine Gleichung der Form P=A+t\vec{r}zur Beschreibung von g an.

Aufgabe 3

Eine Gerade g habe ein Anstiegsdreieck, dessen zur y- Achse parallele Kathete die Länge \Delta y hat. Die andere Kathete möge die Länge \Delta x haben. Geben sie fünf Vektoren \overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}, \overrightarrow{n_3}, \overrightarrow{n_4}, \overrightarrow{n_5} an, die bezüglich g Normalenvektoren sind. Einer dieser Vektoren möge die Länge 1 haben, d.h. ein Normaleneinheitsvektor sein.

Aufgabe 4

Zeichnen Sie auf ein Blatt Papier ein kartesisches Koordinatensystem.

  1. Zeichen Sie bezüglich dieses Koordinatensystems die Gerade g ein, die durch die Gleichung y=\frac{3}{5}x beschrieben wird.
  2. Zeichnen Sie bezüglich dieses Koordinatensystems die Gerade h ein, die durch die Gleichung \frac{3}{5}x-\frac{4}{5}=0 beschrieben wird.
  3. Zeichnen Sie bezüglich dieses Koordinatensystems die Gerade i ein, die durch die Gleichung -3x+4y=0 beschrieben wird.
  4. Interpretieren Sie die Gleichungen für h und i als ax+by=0. Zeichnen Sie für beide Geraden jeweils die Vektoren \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} ein.
  5. Zeichnen Sie den Punkt P\left(10, \frac{10}{8} \right) ein. Messen Sie den Abstand von P zu g.
  6. Berechnen Sie \frac{3}{5}10-\frac{4}{5}\frac{10}{8}=d. Was stellen Sie fest?

Aufgabe 5

Gegeben sei die Funktion f mittels der Gleichung f(x)=\frac{3}{2}x^2+1. Beschreiben Sie die Tangente t an f im Punkt B(2, f(2) durch Gleichungen der Form

  1. y=mx+n
  2. ax+by+c=0
  3. P=A+t\vec{r}

Aufgabe 6

Im \mathbb{R}^3 sei ein Würfel W mit der Kantenlänge 1gegeben. Die Grundfläche von W sei das Quadrat \overline{ABCD}, wobei A auf der positiven x-Achse, B auf der positiven y-Achse, C auf der negativen x-Achse und D auf der negativen y-Achse liegen mögen. Die Deckfläche von W erhalten wir durch Verschiebung der Grundfläche längs des Vektors \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}. Der Punkt A wird bei dieser Verschiebung auf den Punkt E abgebildet, desweiteren B auf F, C auf G und schließlich D auf den Punkt H.
W Wird jetzt einer Drehung mit dem Drehwinkel 45^\circ um die z-Achse unterworfen. Geben Sie für die Raumdiagonalen des gedrehten Würfels jeweils eine Parameterdarstellung an, wobei die Richtungsvektoren jeweils Einheitsvektoren sein mögen.

Aufgabe 7

In der x-z-Ebene des \mathbb{R}^3 sei die Funktion f mit z(x)=-x^2+10 gegeben. Wir erzeugen mittels Rotation um die z-Achse aus f ein Drehparaboloid P. \varepsilon sei die Ebene, die man erhält, wenn man die y-z-Ebene um 30^\circ um die z-Achse dreht. Der Schnitt von \varepsilon mit P ist eine Parabel p. Geben Sie jeweils eine Parameterdarstellung für die beiden Tangenten an p an, die in \varepsilon liegen und deren Berührungspunkte jeweils den Abstand 2 zur z-Achse haben.

Aufgabe 8

Die Ebene \varepsilon möge das Koordinatensystem in den Punkten A\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, B\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} schneiden. Geben Sie eine Gleichung der Form ax+by+cz+d=0 zur Beschreibung von \varepsilon an.

Aufgabe 9

Informieren Sie sich, wie man den Schwerpunkt eines Dreiecks berechnet. Berechnen Sie den Schwerpunkt S des Dreiecks \overline{ABC} aus Aufgabe 8. Lassen Sie das Dreieck mit Geogebra 3D zeichnen und lassen sie ebenso den Schwerpunkt S einzeichnen. Welche Lage hat der Ortsvektor von S bezüglich der Ebene \varepsilon?

Aufgabe 10

Berechnen Sie die Länge des Ortsvektors von S aus Aufgabe 9.

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