Serie 1 Geradengleichungen in der Ebene

Aufgabe 1

Gegeben seien die Punkte $A \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \sqrt{3} +2 \right)$ und $B \left(-\sqrt{\frac{4}{3}} , 0 \right)$.
Beschreiben Sie die Gerade $AB$ jeweils durch eine Gleichung der Form

1. $y=mx+n$
2. $ax+by+c=0$
3. $P=A+t\vec{r}$

.

Aufgabe 2

Die Gerade $g$ möge die $x-$Achse unter einem Winkel von $30^\circ$ im Punkt $A\left(\sqrt{2}, 0\right)$ schneiden.

1. Zeichnen Sie ein kartesisches Koordinatensystem auf ein Blatt Papier. Konstruieren Sie nur mit Zirkel und Lineal eine grafische Darstellung der Geraden $g$ bezüglich Ihres Koordinatensystems.
2. Geben Sie eine Gleichung der Form $y=mx+n$ zur Beschreibung von $g$ an.
3. Geben Sie eine Gleichung der Form $ax+by+c=0$ zur Beschreibung von $g$ an.
4. Geben Sie eine Gleichung der Form $P=A+t\vec{r}$zur Beschreibung von $g$ an.

Aufgabe 3

Eine Gerade $g$ habe ein Anstiegsdreieck, dessen zur $y-$ Achse parallele Kathete die Länge $\Delta y$ hat. Die andere Kathete möge die Länge $\Delta x$ haben. Geben sie fünf Vektoren $\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}, \overrightarrow{n_3}, \overrightarrow{n_4}, \overrightarrow{n_5}$ an, die bezüglich $g$ Normalenvektoren sind. Einer dieser Vektoren möge die Länge $1$ haben, d.h. ein Normaleneinheitsvektor sein.

Aufgabe 4

Zeichnen Sie auf ein Blatt Papier ein kartesisches Koordinatensystem.

1. Zeichen Sie bezüglich dieses Koordinatensystems die Gerade $g$ ein, die durch die Gleichung $y=\frac{3}{5}x$ beschrieben wird.
2. Zeichnen Sie bezüglich dieses Koordinatensystems die Gerade $h$ ein, die durch die Gleichung $\frac{3}{5}x-\frac{4}{5}=0$ beschrieben wird.
3. Zeichnen Sie bezüglich dieses Koordinatensystems die Gerade $i$ ein, die durch die Gleichung $-3x+4y=0$ beschrieben wird.
4. Interpretieren Sie die Gleichungen für $h$ und $i$ als $ax+by=0$. Zeichnen Sie für beide Geraden jeweils die Vektoren $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ ein.
5. Zeichnen Sie den Punkt $P\left(10, \frac{10}{8} \right)$ ein. Messen Sie den Abstand von $P$ zu $g$.
6. Berechnen Sie $\frac{3}{5}10-\frac{4}{5}\frac{10}{8}=d$. Was stellen Sie fest?

Aufgabe 5

Gegeben sei die Funktion $f$ mittels der Gleichung $f(x)=\frac{3}{2}x^2+1$. Beschreiben Sie die Tangente $t$ an $f$ im Punkt $B(2, f(2)$ durch Gleichungen der Form

1. $y=mx+n$
2. $ax+by+c=0$
3. $P=A+t\vec{r}$

Aufgabe 6

Im $\mathbb{R}^3$ sei ein Würfel $W$ mit der Kantenlänge $1$gegeben. Die Grundfläche von $W$ sei das Quadrat $\overline{ABCD}$, wobei $A$ auf der positiven $x-$Achse, $B$ auf der positiven $y-$Achse, $C$ auf der negativen $x-$Achse und $D$ auf der negativen $y-$Achse liegen mögen. Die Deckfläche von $W$ erhalten wir durch Verschiebung der Grundfläche längs des Vektors $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$. Der Punkt $A$ wird bei dieser Verschiebung auf den Punkt $E$ abgebildet, desweiteren $B$ auf $F$, $C$ auf $G$ und schließlich $D$ auf den Punkt $H$.
$W$ Wird jetzt einer Drehung mit dem Drehwinkel $45^\circ$ um die $z-$Achse unterworfen. Geben Sie für die Raumdiagonalen des gedrehten Würfels jeweils eine Parameterdarstellung an, wobei die Richtungsvektoren jeweils Einheitsvektoren sein mögen.

Aufgabe 7

In der $x-z-$Ebene des $\mathbb{R}^3$ sei die Funktion $f$ mit $z(x)=-x^2+10$ gegeben. Wir erzeugen mittels Rotation um die $z-$Achse aus $f$ ein Drehparaboloid $P$. $\varepsilon$ sei die Ebene, die man erhält, wenn man die $y-z-$Ebene um $30^\circ$ um die $z-$Achse dreht. Der Schnitt von $\varepsilon$ mit $P$ ist eine Parabel $p$. Geben Sie jeweils eine Parameterdarstellung für die beiden Tangenten an $p$ an, die in $\varepsilon$ liegen und deren Berührungspunkte jeweils den Abstand $2$ zur $z-$Achse haben.

Aufgabe 8

Die Ebene $\varepsilon$ möge das Koordinatensystem in den Punkten $A\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, B\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ schneiden. Geben Sie eine Gleichung der Form $ax+by+cz+d=0$ zur Beschreibung von $\varepsilon$ an.

Aufgabe 9

Informieren Sie sich, wie man den Schwerpunkt eines Dreiecks berechnet. Berechnen Sie den Schwerpunkt $S$ des Dreiecks $\overline{ABC}$ aus Aufgabe 8. Lassen Sie das Dreieck mit Geogebra 3D zeichnen und lassen sie ebenso den Schwerpunkt $S$ einzeichnen. Welche Lage hat der Ortsvektor von $S$ bezüglich der Ebene $\varepsilon$?

Aufgabe 10

Berechnen Sie die Länge des Ortsvektors von $S$ aus Aufgabe 9.