Übungsaufgaben zur Algebra, Serie 2 SoSe 2019: Unterschied zwischen den Versionen
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Es sei <math>\mathbb{L}</math> die Menge aller reellen Funktionen die durch eine Funktionsgleichung vom Typ <math>y=mx+n</math> beschreibbar sind <math>(m,n\in \mathbb{R}, m \neq 0)</math>. Unter <math>\circ</math> wollen wir die NAF von Funktionen verstehen. Beweisen Sie: <math>[\mathbb{L}, \circ]</math> ist eine Gruppe. <br /> | Es sei <math>\mathbb{L}</math> die Menge aller reellen Funktionen die durch eine Funktionsgleichung vom Typ <math>y=mx+n</math> beschreibbar sind <math>(m,n\in \mathbb{R}, m \neq 0)</math>. Unter <math>\circ</math> wollen wir die NAF von Funktionen verstehen. Beweisen Sie: <math>[\mathbb{L}, \circ]</math> ist eine Gruppe. <br /> | ||
Hinweis: Die NAF von Funktionen ist generell assoziativ. Diesbezüglich müssen Sie nichts beweisen. | Hinweis: Die NAF von Funktionen ist generell assoziativ. Diesbezüglich müssen Sie nichts beweisen. | ||
+ | =Aufgabe 02= | ||
+ | Es sei <math>\mathbb{P}</math> die Menge aller reellen Funktionen die durch eine Funktionsgleichung vom Typ <math>y=mx</math> beschreibbar sind <math>(m\in \mathbb{R}, m \neq 0)</math>. Unter <math>\circ</math> wollen wir die NAF von Funktionen verstehen. Beweisen Sie: <math>[\mathbb{P}, \circ]</math> ist eine Untergruppe von <math>[\mathbb{L}, \circ]</math>. | ||
+ | =Aufgabe 03= | ||
+ | Untergruppenkriterium 1:<br /> | ||
+ | Es sei <math>[G, \circ]</math> eine Gruppe und <math>U \subseteq G</math>. <math>[U, \circ]</math> ist Untergruppe von <math>[G, \circ] \Leftrightarrow </math><br /> | ||
+ | # <math>\forall a, b \in U: a \circ b \in U</math>, | ||
+ | # <math>\forall a \in U : a^{-1} \in U</math>. | ||
+ | Beweisen Sie das Untergruppenkriterium 1 | ||
+ | =Aufgabe 4= | ||
+ | Unter der Kleinschen Vierergruppe versteht man eine Gruppe mit 4 Elementen, die alle selbstinvers sind.<br /> | ||
+ | Geben Sie 3 konkrete Kleinsche Viergruppen an, und betten Sie diese als ein Untergruppe in jeweils eine Obergruppe ein. | ||
+ | =Aufgabe 5= | ||
+ | Beweisen Sie: Wenn eine Gruppe die Ordnung <math>4</math> hat, dann ist sie entweder zyklisch oder sie ist eine Kleinsche Vierergruppe. | ||
+ | =Aufgabe 6= | ||
+ | Wir definieren <math>F:=\{(r,g,b)|r,g,b \in \mathbb{N}, 0 \leq r \leq 255, 0 \leq g \leq 255, 0 \leq b \leq 255\}</math>. Auf <math>F</math> legen wir eine Operation <math>\oplus</math> wie folgt fest: <math>\forall (r_1,g_1,b_1) , (r_2,g_2,b_2) \in F : (r_1,g_1,b_1) \oplus (r_2,g_2,b_2):= (Rest((r_1+r_2),256),Rest((g_1+g_2),256),Rest((b_1+b_2),256) )</math>. | ||
+ | Beweisen Sie: <math>[F, \oplus]</math> ist eine Gruppe | ||
+ | =Aufgabe 7= | ||
+ | Wir definieren <math>G:=\{(g,g,g)|g\in \mathbb{N}, 0 \leq g \leq 255 \}</math>. Beweisen Sie: <math>[G, \oplus]</math> ist Untergruppe von <math>[F, \oplus]</math>. | ||
+ | =Aufgabe 8= | ||
+ | Bestimmen Sie die Ordnungen der beiden Gruppen aus den Aufgaben 6 und 7. Erläutern Sie in diesem Zusammenhang den Satz von Lagrange. | ||
+ | =Aufgabe 9= | ||
+ | Geben Sie drei weitere Untergruppen von <math>[F, \oplus]</math> an. | ||
+ | =Aufgabe 10= | ||
+ | Es sei <math>Q</math> die Menge aller quadratischen Funktionen vom Typ <math>y=ax^2</math>. Wir definieren für alle Funktionen dieses Typs eine Addition <math>\oplus</math> wie folgt: <math>y=a_1x^2 \oplus y=a_2x^2 := y=(a_1+a_2)x^2</math>. Beweisen oder widerlegen Sie:<br /> | ||
+ | <math>[Q, \oplus]</math> ist eine Gruppe. | ||
<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben ---> | <!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben ---> | ||
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[[Kategorie:Algebra]] | [[Kategorie:Algebra]] |
Aktuelle Version vom 18. Juni 2019, 14:53 Uhr
Aufgabe 01Es sei Aufgabe 02Es sei Aufgabe 03Untergruppenkriterium 1:
Beweisen Sie das Untergruppenkriterium 1 Aufgabe 4Unter der Kleinschen Vierergruppe versteht man eine Gruppe mit 4 Elementen, die alle selbstinvers sind. Aufgabe 5Beweisen Sie: Wenn eine Gruppe die Ordnung Aufgabe 6Wir definieren Aufgabe 7Wir definieren Aufgabe 8Bestimmen Sie die Ordnungen der beiden Gruppen aus den Aufgaben 6 und 7. Erläutern Sie in diesem Zusammenhang den Satz von Lagrange. Aufgabe 9Geben Sie drei weitere Untergruppen von Aufgabe 10Es sei |