Lösung von Aufgabe 4.2 (WS 19 20): Unterschied zwischen den Versionen
(Die Seite wurde neu angelegt: „'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander. '''<br /><br /> '''a) Wel…“) |
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Beh: |α| ≠ |β|<br /> | Beh: |α| ≠ |β|<br /> | ||
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.<br /><br /> | Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.<br /><br /> | ||
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| + | beide Korrekt? - einmal direkter, einmal indirekter Beweis? --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 13:14, 8. Nov. 2019 (CET) | ||
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| + | Schau dir den ersten Beweis noch einmal genau an. | ||
| + | Kann man mit dem BWS den Beweis begründen?--[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 20:13, 9. Nov. 2019 (CET) | ||
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b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br /> | b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br /> | ||
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| + | Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br /> | ||
| + | Vor: |AC|< |BC| < |AB|. <br /> | ||
| + | Beh: |α| ≠ |β|<br /> | ||
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| + | 1) Dreieck ist gleichschenklig (Annahme, Basiswinkelsatz) <br /> | ||
| + | 2) |AC| = |BC| (1), Basiswinkelsatz) <br /> | ||
| + | (Begründung: Umkehrung BWS) --[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 20:13, 9. Nov. 2019 (CET) | ||
| + | 3) Widerspruch zur Voraussetzung (2), Voraussetzung) <br /> | ||
| + | q.e.d. <br /> | ||
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| + | --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 13:04, 8. Nov. 2019 (CET) | ||
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Aktuelle Version vom 9. November 2019, 20:13 Uhr
Satz: In einem Dreieck 
mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.
a) Welcher Beweis ist korrekt? Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)
Beweis 1)
Sei ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.
Beweis 2)
Sei ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.
beide Korrekt? - einmal direkter, einmal indirekter Beweis? --Emiliam (Diskussion) 13:14, 8. Nov. 2019 (CET)
Schau dir den ersten Beweis noch einmal genau an. Kann man mit dem BWS den Beweis begründen?--Tutorin Laura (Diskussion) 20:13, 9. Nov. 2019 (CET)
b) Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.
Beweis 3)
Sei ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
An: |α| = |β|
Bew:
1) Dreieck ist gleichschenklig (Annahme, Basiswinkelsatz)
2) |AC| = |BC| (1), Basiswinkelsatz)
(Begründung: Umkehrung BWS) --Tutorin Laura (Diskussion) 20:13, 9. Nov. 2019 (CET)
3) Widerspruch zur Voraussetzung (2), Voraussetzung)
q.e.d.
--Emiliam (Diskussion) 13:04, 8. Nov. 2019 (CET)
