Vorbereitung auf die Konferenz am 24.04.2020 Geometrieeinführung: Unterschied zwischen den Versionen
*m.g.* (Diskussion | Beiträge) (→Mengenlehre) |
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Lösen Sie dann die folgenden Aufgaben: | Lösen Sie dann die folgenden Aufgaben: | ||
− | ==Aufgabe Mengenlehre 01== | + | ]]==Aufgabe Mengenlehre 01== |
− | <math>M_2</math> sei die Menge aller durch <math>2</math> teilbaren Zahlen. <math>M_3</math> sei die Menge aller durch <math>3</math> teilbaren Zahlen. Beschreiben Sie <math>M_2 \cap M_3</math>. | + | <math>M_2</math> sei die Menge aller durch <math>2</math> teilbaren Zahlen. <math>M_3</math> sei die Menge aller durch <math>3</math> teilbaren Zahlen. Beschreiben Sie <math>M_2 \cap M_3</math>.<br /> |
+ | |||
+ | <math>M_2\cap M_3=\{n|6|n\}</math><br /> | ||
+ | Die Schnittmenge aller geraden Zahlen mit der Menge aller durch 3 teilbaren Zahlen ist die Menge der durch 6 teilbaren Zahlen. | ||
+ | |||
+ | [[Datei: [[Datei:6E20FDB2-3972-4C8C-8450-B57A23234CE1.jpeg|thumb|Aufgabe Mengenlehre 01]]]] | ||
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==Aufgabe Mengenlehre 02== | ==Aufgabe Mengenlehre 02== | ||
<math>M_g</math> sei die Menge aller geraden natürlichen Zahlen, <math>M_u</math> die Menge aller ungeraden ganzen Zahlen. Beschreiben Sie <math>M_g\cup M_u</math>. | <math>M_g</math> sei die Menge aller geraden natürlichen Zahlen, <math>M_u</math> die Menge aller ungeraden ganzen Zahlen. Beschreiben Sie <math>M_g\cup M_u</math>. | ||
+ | ===Lösung=== | ||
+ | {N} u {x|-(2n-1), n€N} | ||
+ | [[Datei:Testbild09.png|thumb|Test wie man Bilder hochlädt]] | ||
+ | [[Datei: [[Datei:7290DAEB-65E4-4906-866D-16558D7F6CB9.jpeg|thumb|Aufgabe Mengenlehre 02]]]] | ||
+ | |||
+ | ==Aufgabe Mengenlehre 03== | ||
+ | Es sei <math>P</math> die Menge aller Parallelogramme und <math>S</math> die Menge aller symmetrischen Trapeze. Beschreiben Sie die Menge <math>P \cup S</math>. | ||
+ | ==Aufgabe Mengenlehre 04== | ||
+ | Geben Sie zwei Mengen an, deren Schnittmenge die Menge aller Quadrate ist. | ||
+ | |||
+ | ===Lösung=== | ||
+ | <math>M_1</math> sei die Menge aller Rauten.<br /> | ||
+ | <math>M_2</math> sei die Menge aller Rechtecke.<br /> | ||
+ | Dann ist <math>M_1\cap M_2</math> die Menge aller Quadrate. | ||
+ | |||
+ | ==Aufgabe Mengenlehre 05== | ||
+ | Definieren Sie die Begriffe Schnittmenge und Vereinigungsmenge. | ||
+ | |||
+ | ===Definition Schnittmenge=== | ||
+ | Die Schnittmenge zweier Mengen <math>M_1</math> und <math>M_2</math> ist die Menge aller Elemente, die sowohl in <math>M_1</math> als auch in <math>M_2</math> enthalten sind. | ||
+ | |||
+ | ===Definition Vereinigungsmenge=== | ||
+ | Die Vereinigungsmenge zweier Mengen <math>M_1</math> und <math>M_2</math> ist die Menge aller Elemente, die in <math>M_1</math> oder <math>M_2</math> enthalten sind. | ||
+ | |||
+ | =Definieren= | ||
+ | ==Was ist eine Definition?== | ||
+ | *Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht.<br /> | ||
+ | *Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll.<br /> '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1. | ||
+ | *Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten.<br />'''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt:<br /> Bsp. Definition Rechteck: <br />Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. <br />Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist.<br /><br /> | ||
+ | |||
+ | ==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren== | ||
+ | Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren. | ||
+ | ===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen=== | ||
+ | Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert. | ||
+ | ====Das Übliche, die Realdefinition==== | ||
+ | ::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>. | ||
+ | |||
+ | ====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"==== | ||
+ | ::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>. | ||
+ | |||
+ | ====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition==== | ||
+ | ::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>. | ||
+ | ===Beispiel 2: Drachenviereck=== | ||
+ | Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert. | ||
+ | ====Realdefinition==== | ||
+ | ::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck. | ||
+ | ====Konventionaldefinition==== | ||
+ | ::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck. | ||
+ | ====genetisch, operative Definition==== | ||
+ | ::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck. | ||
+ | |||
+ | == Definierende Eigenschaften== | ||
+ | <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/AY3tuQ-zSI0" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen></iframe> | ||
+ | ===Aufgabe Definieren 01=== | ||
+ | Definieren Sie den Begriff Parallelogramm auf drei verschiedene Arten und Weisen. | ||
+ | |||
+ | ===Lösungsvorschlag=== | ||
+ | 1. Ein Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten gleichlang sind, heißt Parallelogramm.<br /> | ||
+ | |||
+ | 2. Ein Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten parallel sind, heißt Parallelogramm.<br /> | ||
+ | |||
+ | 3. Ein Viereck, bei dem sich die Diagonalen halbieren, heißt Parallelogramm. | ||
+ | |||
+ | ==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen== | ||
+ | Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren. | ||
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+ | Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen:<br />* {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}}<br /> | ||
+ | |||
+ | ==Eine neue Definition entwickeln== | ||
+ | <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/EBFQTMyxA3E" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen></iframe> | ||
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+ | ===Aufgabe Definieren 02=== | ||
+ | Definieren Sie den Begriff Ellipse. | ||
+ | Experimentieren Sie dazu mit der folgenden Geogebradatei: | ||
+ | [https://www.geogebra.org/m/erz58z2e Gärtnerkonstruktion] | ||
+ | ===Aufgabe Definieren 03=== | ||
+ | Definieren Sie den Begriff Kreis als Spezialfall der Ellipse. | ||
+ | ===Aufgabe Definieren 04=== | ||
+ | <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/bGtRxEAFHu8" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen></iframe> | ||
+ | <br /> | ||
+ | Definieren Sie den Begriff Raute. | ||
+ | |||
+ | ====Lösungsvorschlag==== | ||
+ | Ein Viereck, das vier gleich lange Seiten hat, ist eine Raute. | ||
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Aktuelle Version vom 7. Mai 2020, 17:59 Uhr
MengenlehreArbeiten Sie das folgende Skript zur Mengenlehre durch: Lösen Sie dann die folgenden Aufgaben:
]]==Aufgabe Mengenlehre 01==
sei die Menge aller durch teilbaren Zahlen. sei die Menge aller durch teilbaren Zahlen. Beschreiben Sie .
Aufgabe Mengenlehre 02sei die Menge aller geraden natürlichen Zahlen, die Menge aller ungeraden ganzen Zahlen. Beschreiben Sie . Lösung{N} u {x|-(2n-1), n€N} [[Datei: ]]Aufgabe Mengenlehre 03Es sei die Menge aller Parallelogramme und die Menge aller symmetrischen Trapeze. Beschreiben Sie die Menge . Aufgabe Mengenlehre 04Geben Sie zwei Mengen an, deren Schnittmenge die Menge aller Quadrate ist. Lösung sei die Menge aller Rauten. Aufgabe Mengenlehre 05Definieren Sie die Begriffe Schnittmenge und Vereinigungsmenge. Definition SchnittmengeDie Schnittmenge zweier Mengen und ist die Menge aller Elemente, die sowohl in als auch in enthalten sind. Definition VereinigungsmengeDie Vereinigungsmenge zweier Mengen und ist die Menge aller Elemente, die in oder enthalten sind. DefinierenWas ist eine Definition?
Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulierenEs gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren. Beispiel 1: ggT zweier ganzer ZahlenDie Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert. Das Übliche, die Realdefinition
Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"
Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition
Beispiel 2: DrachenviereckDie Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert. Realdefinition
Konventionaldefinition
genetisch, operative Definition
Definierende Eigenschaften[ www.youtube.com is not an authorized iframe site ] Aufgabe Definieren 01Definieren Sie den Begriff Parallelogramm auf drei verschiedene Arten und Weisen. Lösungsvorschlag1. Ein Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten gleichlang sind, heißt Parallelogramm. 2. Ein Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten parallel sind, heißt Parallelogramm. 3. Ein Viereck, bei dem sich die Diagonalen halbieren, heißt Parallelogramm. Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen NiveaustufenAus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.
Eine neue Definition entwickeln[ www.youtube.com is not an authorized iframe site ] Aufgabe Definieren 02Definieren Sie den Begriff Ellipse. Experimentieren Sie dazu mit der folgenden Geogebradatei: Gärtnerkonstruktion Aufgabe Definieren 03Definieren Sie den Begriff Kreis als Spezialfall der Ellipse. Aufgabe Definieren 04[ www.youtube.com is not an authorized iframe site ]
LösungsvorschlagEin Viereck, das vier gleich lange Seiten hat, ist eine Raute.
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