Vorbereitung auf die Konferenz am 24.04.2020 Geometrieeinführung

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Inhaltsverzeichnis

Mengenlehre

Arbeiten Sie das folgende Skript zur Mengenlehre durch:
Mengenlehre.pdf

Lösen Sie dann die folgenden Aufgaben: ]]==Aufgabe Mengenlehre 01== M_2 sei die Menge aller durch 2 teilbaren Zahlen. M_3 sei die Menge aller durch 3 teilbaren Zahlen. Beschreiben Sie M_2 \cap M_3.

M_2\cap M_3=\{n|6|n\}
Die Schnittmenge aller geraden Zahlen mit der Menge aller durch 3 teilbaren Zahlen ist die Menge der durch 6 teilbaren Zahlen.

[[Datei:
Aufgabe Mengenlehre 01
]]

Aufgabe Mengenlehre 02

M_g sei die Menge aller geraden natürlichen Zahlen, M_u die Menge aller ungeraden ganzen Zahlen. Beschreiben Sie M_g\cup M_u.

Lösung

{N} u {x|-(2n-1), n€N}

Test wie man Bilder hochlädt
[[Datei:
Aufgabe Mengenlehre 02
]]

Aufgabe Mengenlehre 03

Es sei P die Menge aller Parallelogramme und S die Menge aller symmetrischen Trapeze. Beschreiben Sie die Menge P \cup S.

Aufgabe Mengenlehre 04

Geben Sie zwei Mengen an, deren Schnittmenge die Menge aller Quadrate ist.

Lösung

M_1 sei die Menge aller Rauten.
M_2 sei die Menge aller Rechtecke.
Dann ist M_1\cap M_2 die Menge aller Quadrate.

Aufgabe Mengenlehre 05

Definieren Sie die Begriffe Schnittmenge und Vereinigungsmenge.

Definition Schnittmenge

Die Schnittmenge zweier Mengen M_1 und M_2 ist die Menge aller Elemente, die sowohl in M_1 als auch in M_2 enthalten sind.

Definition Vereinigungsmenge

Die Vereinigungsmenge zweier Mengen M_1 und M_2 ist die Menge aller Elemente, die in M_1 oder M_2 enthalten sind.

Definieren

Was ist eine Definition?

  • Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht.
  • Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll.
    Anmerkung: Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
  • Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten.
    Anmerkung: Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt:
    Bsp. Definition Rechteck:
    Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel.
    Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist.

Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren

Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.

Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen

Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.

Das Übliche, die Realdefinition

Es seien a und b zwei ganze Zahlen. T sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von a als auch von b sind. Die größte Zahl der Menge T heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen a und b.

Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"

Wenn eine Zahl g sowohl die ganze Zahl a als auch die ganze Zahl b teilt und es keine Zahl t gibt, die auch a und b teilt und dabei größer als g ist, dann ist g der größte gemeinsame Teiler von a und b.

Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition

Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen a und b erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen a und b.

Beispiel 2: Drachenviereck

Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.

Realdefinition

Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.

Konventionaldefinition

Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.

genetisch, operative Definition

Es sei \overline{ABC}ein Dreieck und \ C' das Bild von \ C bei der Spiegelung an \ AB. Das Viereck \overline{AC'BC} ist ein Drachenviereck.

Definierende Eigenschaften

Aufgabe Definieren 01

Definieren Sie den Begriff Parallelogramm auf drei verschiedene Arten und Weisen.

Lösungsvorschlag

1. Ein Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten gleichlang sind, heißt Parallelogramm.

2. Ein Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten parallel sind, heißt Parallelogramm.

3. Ein Viereck, bei dem sich die Diagonalen halbieren, heißt Parallelogramm.

Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen

Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.


Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen:
* Definitionen

Eine neue Definition entwickeln

Aufgabe Definieren 02

Definieren Sie den Begriff Ellipse. Experimentieren Sie dazu mit der folgenden Geogebradatei: Gärtnerkonstruktion

Aufgabe Definieren 03

Definieren Sie den Begriff Kreis als Spezialfall der Ellipse.

Aufgabe Definieren 04


Definieren Sie den Begriff Raute.

Lösungsvorschlag

Ein Viereck, das vier gleich lange Seiten hat, ist eine Raute.