Lösung von Aufg. 9.5 (SoSe 11): Unterschied zwischen den Versionen

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Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
 
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konvex bedeutet zunächst ja folgendes: <math>\forall A, B \in einer Punktemenge: {P| \operatorname(Zw) (A, P, B)} \in  dieser Punktemenge sind \Rightarrow  ist die Punktemenge konvex</math>
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Voraussetzung: Zwei konvexe Punktmengen schneiden sich; <math>A \in dieser Schnittmenge </math> und <math>B \in dieser Schnittmenge </math>
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Behauptung: <math>\lbrace P| Zw(A, P, B\rbrace  \in  der Schnittmenge</math>
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Annahme: <math>\exists P \not\in  der Schnittmenge</math>
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| 1 || koll(A, B, P) || Def. Strecke, Def. kollinear, Def. konvex
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| 3 || <math>A \in der Schnittmenge</math> || Voraussetzung
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| 4 || <math>B \not\in der Schnittmenge</math> || Def. konvex (P liegt zwischen A und B), Def. Strecke, Def. Zwischenrelation, (3), (2), (1)
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| 5 || Wiederspruch zur Voraussetzung, Annahme ist zu verwerfen || (4)
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--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 15:43, 8. Jun. 2011 (CEST)<br />
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Der Beweis ist so nicht korrekt. Zunächst musst du deine Annahme genauer formulieren. Sonst kannst du Schritt 1 gar nicht machen.<br />
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Dann kannst du aus Schritt 2 und 3 nicht direkt auf Schritt 4 schließen, dieser Schluss muss in mehreren Schritten passieren. Diese Schritte sind dann auch wirklich ein Beweis.<br />
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Der Beweis kann auch direkt geführt werden.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:48, 11. Jun. 2011 (CEST)<br />
  
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9.6 Lösung:
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Seien M1, M2 konvexe Mengen<br\>
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zz: <math>\ M1 \cap M2 =: M3 </math> ist konvex. <math>\Leftrightarrow</math> <math>\forall X,Q \in M3</math><math>\Rightarrow \overline{XQ}\subset M3</math><br\>
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Beweis:<br\>
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Seien <math>\operatorname X,Q \in M3 \Rightarrow  X,Q\in M1\ \wedge M2\Rightarrow \overline{XQ} \subset M1 \wedge M2</math>, da konvex.<math>\Rightarrow \overline{XQ} \subset M3 \Rightarrow</math> M3 ist konvex.--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 17:34, 19. Jun. 2011 (CEST)
  
 
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Aktuelle Version vom 19. Juni 2011, 16:34 Uhr

Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
konvex bedeutet zunächst ja folgendes: \forall A, B \in einer Punktemenge: {P| \operatorname(Zw) (A, P, B)} \in dieser Punktemenge sind \Rightarrow ist die Punktemenge konvex

Voraussetzung: Zwei konvexe Punktmengen schneiden sich; A \in dieser Schnittmenge und B \in dieser Schnittmenge
Behauptung: \lbrace P| Zw(A, P, B\rbrace \in der Schnittmenge
Beweis durch Wiederspruch:
Annahme: \exists P \not\in der Schnittmenge

1 koll(A, B, P) Def. Strecke, Def. kollinear, Def. konvex
2 P \not\in der Schnittmenge Annahme
3 A \in der Schnittmenge Voraussetzung
4 B \not\in der Schnittmenge Def. konvex (P liegt zwischen A und B), Def. Strecke, Def. Zwischenrelation, (3), (2), (1)
5 Wiederspruch zur Voraussetzung, Annahme ist zu verwerfen (4)

--Flo60 15:43, 8. Jun. 2011 (CEST)
Der Beweis ist so nicht korrekt. Zunächst musst du deine Annahme genauer formulieren. Sonst kannst du Schritt 1 gar nicht machen.
Dann kannst du aus Schritt 2 und 3 nicht direkt auf Schritt 4 schließen, dieser Schluss muss in mehreren Schritten passieren. Diese Schritte sind dann auch wirklich ein Beweis.
Der Beweis kann auch direkt geführt werden.--Tutorin Anne 11:48, 11. Jun. 2011 (CEST)


9.6 Lösung:

Seien M1, M2 konvexe Mengen
zz: \ M1 \cap M2 =: M3 ist konvex. \Leftrightarrow \forall X,Q \in M3\Rightarrow \overline{XQ}\subset M3
Beweis:
Seien \operatorname X,Q \in M3 \Rightarrow X,Q\in M1\ \wedge M2\Rightarrow \overline{XQ} \subset M1 \wedge M2, da konvex.\Rightarrow \overline{XQ} \subset M3 \Rightarrow M3 ist konvex.--Peterpummel 17:34, 19. Jun. 2011 (CEST)

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