Tangentenkriterium: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 28. Juli 2011, 17:38 Uhr

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1 Tangentenkriterium

Tangentenkriterium

Kriterium: (Tangete am Kreis)

Eine Gerade t, die durch einen Punkt A eines Kreises k mit dem Mittelpunkt M verläuft, ist genau dann Tangente an k, wenn t senkrecht auf MA steht.

Satz 1: (Tangete am Kreis)

$\ t \cap k = \lbrace A\rbrace \Rightarrow MA \perp \ t$

Beweis durch Wiederspruch:
Voraussetzung: $\ t \cap k = \lbrace A\rbrace$
Behauptung: $MA \perp \ t$

Annahme: $\ MA \not\perp \ t$

1	Es existiert ein Lot von M auf t, dieses ist eindeutig. Der Lotfußpunkt auf k heiße B.	Ex. und Eindeutigkeit Lot, Annahme, Voraussetzung
2	Es existiert genau ein Punkt C für den gilt, dass o. B. d. A. $\operatorname(Zw) (C, B, A)$ und $\|CB\| = \|BA\|$	Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom, Definition zwischenrelation, Voraussetzung, (1) und Skizze
3	$\|\angle MBA \| = \|\angle MBC\| = 90$	nach Konstruktion, Def. NW, Def. supplementär, Supplementaxiom, Def. Lot (1)
4	$\overline{MBA} \cong \overline{MBC}$	SWS, (2), (3) und weil trivialerweise $\overline{MB}$ zu sich selbst kongruent ist.
5	Somit ist nach der Dreieckskongruenz und aus (4) $\|MC\| = \|MA\| = r$ nach Voraussetzung und es ergeben sich zwei Schnittpunkte, was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist.

--Flo60 10:53, 24. Jul. 2011 (CEST)
Beweisidee und Begründung ist richtig. Schöner wäre der Beweis sicher, wenn du mehrer kleinen Schritte aufführst, anstatt mit 6 Begründungen einen riesen Schritt durchführst.--Tutorin Anne 16:31, 24. Jul. 2011 (CEST)

Danke für den Hinweis, das Wiki streicht viele Aspekte heraus, wenn man mit "|" in der Tabelle arbeitet - ich habs geändert. --Flo60 19:14, 24. Jul. 2011 (CEST)

Satz 2: (Tangente am Kreis)

$MA \perp \ t \wedge$ t schneidet k im Punkt A $\Rightarrow$ t ist Tangente an k.

Eigentlich erscheint dieser Beweis komisch. Allerdings könnte es ja sein, dass wenn eine Gerade durch eben einen Punkt A verläuft und senkrecht auf dem Berührradius steht, dass dann trotzdem ein zweiter Schnittpunkt vorhanden ist mit k und dann wäre halt t keine Tangente mehr.

Einschub von --WikiNutzer 13:21, 26. Jul. 2011 (CEST): Wenn in der Voraussetzung steht: :: $MA \perp \ t \wedge k \cap t = \lbrace A\rbrace$ , heißt das dann nicht schon, dass es nur einen Schnittpunkt von t und k gibt? Vermutlich ist aber genau das zu beweisen, denn dass eine Gerade, die einen Kreis in genau einem Punkt schneidet, Tangente heißt, ist doch Definition und nicht Satz. Vielleicht wäre :: $MA \perp \ t \wedge \lbrace A\rbrace \in k \cap t$ besser in der Voraussetzung? [Einschub von --WikiNutzer 13:21, 26. Jul. 2011 (CEST) Ende]

Da hast du aus meiner Sicht vollkommen recht. Ich habe es abgeändert (in Worten, deines wäre denke ich genauso richtig gewesen). --Flo60 21:42, 27. Jul. 2011 (CEST)

Voraussetzung: $MA \perp \ t \wedge k \cap t = \lbrace A\rbrace$
Behauptung: t ist Tangente an k
Annahme: Es ex. ein Punkt S: $S \neq A \wedge \ t \cap k = \lbrace S\rbrace$

Ich versuche diesen Beweis bewusst in der absoluten Geometrie zu Beweisen. Mit der Innenwinklesumme wäre es natürlich noch einfacher, aber zwecks der Übung.

1	$\left\| MA \right\| = \left\| MS \right\|$	Annahme, Definiton Kreis und Radius
2	$\|\angle MAS\| = \|\angle MSA\| = 90$	Voraussetzung, Basiswinkelsatz, (1), Def. Senkrecht
3	Demnach sind im Dreieck zwei Winkel nicht spitz, was ein Widerspruch zu einem der Korollare ist. Demnach ist die Annahme zu verwerfen.	Korollar des schwachen Außenwinkelsatzes, (2), Definition Dreieck

--Flo60 10:53, 24. Jul. 2011 (CEST) Gut! Aber auch hier lieber ein paar Schritte mehr!--Tutorin Anne 16:34, 24. Jul. 2011 (CEST)

Wieso wird bei der Umkehrung eine Senkrechte auf dem Radius ausgeschlossen? Die Umkehrung lautet doch: Wenn t senkrecht auf MA, dann ist t Tangente. Und t kann doch Senkrecht auf MA stehen und den Kreis zweimal schneiden? --Verteidigungswolf 17:44, 26. Jul. 2011 (CEST) Du hast recht, die Voraussetzung ist nicht richtig. Es darf nicht angegeben werden, dass Kreis und Gerade genau einen Schnittpunkt A haben. --Tutorin Anne 18:38, 28. Jul. 2011 (CEST)

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 ===== Satz 2: (Tangente am Kreis) =====
-::<math>MA \perp \ t \wedge k \cap t = \lbrace A\rbrace  \Rightarrow     </math> t ist Tangente an k. <br />
+::<math>MA \perp \ t \wedge </math> t schneidet k im Punkt A <math>  \Rightarrow     </math> t ist Tangente an k. <br />
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 Einschub von --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 13:21, 26. Jul. 2011 (CEST): Wenn in der Voraussetzung steht: ::<math>MA \perp \ t \wedge k \cap t = \lbrace A\rbrace </math>, heißt das dann nicht schon, dass es nur einen Schnittpunkt von t und k gibt? Vermutlich ist aber genau das zu beweisen, denn dass eine Gerade, die einen Kreis in genau einem Punkt schneidet, Tangente heißt, ist doch Definition und nicht Satz. Vielleicht wäre ::<math>MA \perp \ t \wedge  \lbrace  A\rbrace \in  k \cap t
-  </math> besser in der Voraussetzung? [Einschub von --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 13:21, 26. Jul. 2011 (CEST) Ende]<br /><br />
+  </math> besser in der Voraussetzung? [Einschub von --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 13:21, 26. Jul. 2011 (CEST) Ende]
+<br />
+<br />
+Da hast du aus meiner Sicht vollkommen recht. Ich habe es abgeändert (in Worten, deines wäre denke ich genauso richtig gewesen). --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 21:42, 27. Jul. 2011 (CEST)
+<br /><br />
 Voraussetzung: <math>MA \perp  \ t \wedge  k \cap t = \lbrace A\rbrace </math><br />
 Behauptung: t ist Tangente an k <br />
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 Wieso wird bei der Umkehrung eine Senkrechte auf dem Radius ausgeschlossen? Die Umkehrung lautet doch: Wenn t senkrecht auf MA, dann ist t Tangente. Und t kann doch Senkrecht auf  MA stehen und den Kreis zweimal schneiden?
---[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 17:44, 26. Jul. 2011 (CEST)
+--[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 17:44, 26. Jul. 2011 (CEST) Du hast recht, die Voraussetzung ist nicht richtig. Es darf nicht angegeben werden, dass Kreis und Gerade genau einen Schnittpunkt A haben. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:38, 28. Jul. 2011 (CEST)

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