Quiz der Woche: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Es sei <math>R</math> ein Äquivalenzrelation auf der Menge <math>M</math>. Wir zerlegen M derart in Teilmengen, dass gilt: | + | Es sei <math>\ R</math> ein Äquivalenzrelation auf der Menge <math> \ M</math>. Wir zerlegen <math>\ M</math> derart in Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math>, dass gilt: Jede der Teilmengen besteht aus all den Elementen von <math> \ M</math>, die in der Relation <math>\ R</math> zueinander stehen.<br /> |
+ | '''Satz:''' <br />Die Zerlegung von <math>\ M</math> in die Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>\ M</math>. | ||
− | + | [[Beispiel zu dieser Idee, Klassen einzuteilen]] | |
<quiz> | <quiz> | ||
− | { | + | <big>'''Die Idee, eine Klasse durch eines ihrer Elemente zu beschreiben.'''</big><br> |
+ | {Wir wollen versuchen, die Art und Weise der Generierung einer beliebigen der Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math> formal zu beschreiben. Diesbezüglich stellen wir fest, dass es sinnvoller ist, nicht mit Zahlen, sondern Elementen aus <math>\ M</math> zu indizieren. Unter der Klasse <math>\ T_a</math> verstehen wir dann alle Elemente von <math>\ M</math>, die mit dem Element <math>\ a</math> aus M in der Relation <math>\ R</math> stehen. Welche der folgenden formalen Definitionen ist bezüglich dieser Idee korrekt?} | ||
+ | + <math> \bigwedge_{a \in M}: T_a:= \lbrace b| b \in M \land bRa \rbrace </math> | ||
+ | || so liest sich das: Für alle <math>a</math> aus <math>M</math> legen wir die Teilmenge <math>T_a</math> derart fest, dass zu ihr alle Elemente <math>b</math> aus <math>M</math> gehören, die mit <math>a</math> in der Relation <math>R</math> stehen. | ||
+ | + <math> \bigwedge_{b \in M}: T_b:= \lbrace x| x \in M \land xRb \rbrace </math> | ||
+ | || Genau dasselbe wie zuvor, nur heißt <math>a</math> jetzt <math>b</math> und <math>b</math> dafür <math>x</math>. | ||
+ | |||
+ | { <big>'''Überlegungen zur Voraussetzung'''</big> | ||
+ | | type="{}" } | ||
+ | <u>Voraussetzung:</u> <math>R</math> ist eine { Äquivalenzrelation } | ||
+ | Das bedeutet: | ||
+ | (R) <math>R</math> ist { reflexiv } | ||
+ | (S) <math>R</math> ist { symmetrisch } | ||
+ | (T) <math>R</math> ist { transitiv } | ||
+ | |||
+ | { <big>'''Überlegungen zur Behauptung'''</big> | ||
| type="{}" } | | type="{}" } | ||
− | + | <u>Behauptung:</u> Die Einteilung von <math>\ M</math> in die Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math> ist eine { Klasseneinteilung } von <math>\ M</math>. | |
− | + | Das bedeutet, dass wir zu zeigen haben: | |
− | + | (L) Der Durchschnitt zweier verschiedener Teilmengen <math>\ T_i</math> und <math>\ T_j</math> ist die { leere Menge } | |
− | + | (S) Die Vereinigungsmenge aller Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math> ist die Menge { M } | |
− | + | (0) Weder <math>\ T_1</math> noch <math>\ T_2 </math> noch irgendeine andere der Mengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math> ist { leer }. | |
</quiz> | </quiz> |
Aktuelle Version vom 16. Mai 2010, 17:54 Uhr
Es sei ein Äquivalenzrelation auf der Menge
. Wir zerlegen
derart in Teilmengen
, dass gilt: Jede der Teilmengen besteht aus all den Elementen von
, die in der Relation
zueinander stehen.
Satz:
Die Zerlegung von in die Teilmengen
ist eine Klasseneinteilung von
.
Beispiel zu dieser Idee, Klassen einzuteilen