Drehungen als Geradenspiegelungen (2011/12): Unterschied zwischen den Versionen
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:: Es gilt die folgende Äquivalenz: | :: Es gilt die folgende Äquivalenz: | ||
+ | ::<math>a \perp b \Leftrightarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)</math>--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 11:27, 1. Dez. 2011 (CET) | ||
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+ | ===Beweisteil I: <math>a \perp b \rightarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)</math><br />=== | ||
+ | Um diesen Beweis führen zu können, müssen wir uns auf den Reduktionssatz rückbesinnen. Dieser zeigte uns an, dass jede Drehung die NAF zweier Geradenspiegelungen ist. Ferner konnten wir zeigen, dass es unendlich viele Geradenpaare gibt, die die Bewegung ausführen. | ||
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+ | Seien A, B, C drei nichtkollineare Punkte und <math>S_b(S_a(A)) = A', \ S_b(S_a(B)) = B' \ und \ S_b(S_a(C)) = C'</math> | ||
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+ | Bleibt zu zeigen, dass <math>S_a(S_b(A)) = A', \ S_a(S_b(B)) = B' \ und \ S_a(S_b(C)) = C'</math>. | ||
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+ | Weil ich unendlich viele Geradenpaare habe, für die gilt, dass <math>A \rightarrow A' \ und \ B \rightarrow B' \ und \ C \rightarrow C'</math> kann ich mit ein weiteres Paar aussuchen. Ein weiterer Aspekt muss jedoch berücksichtigt werden: Der Schnittwinkel der beiden Geraden muss immer identisch sein. Wenn nun a' so gelegt wird, dass a' = b ist und b' so gelegt wird, dass b' = a ist, dann sind wir fertig, da nun gilt, dass <math>S_a(S_b(A)) = A', \ S_a(S_b(B)) = B' \ und \ S_a(S_b(C)) = C'</math>. | ||
+ | --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 23:23, 4. Dez. 2011 (CET) | ||
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+ | ===Beweisteil II: <math>a \perp b \leftarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)</math>=== |
Aktuelle Version vom 5. Dezember 2011, 00:27 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Beziehung zwischen "senkrecht" und Kommutativität
Satz
- Es seien
und
zwei Geradenspiegelungen, deren Spiegelgeraden
und
nicht identisch sind.
- Es gilt die folgende Äquivalenz:
--Sternchen 11:27, 1. Dez. 2011 (CET)
- Es seien
Beweisteil I: ![a \perp b \rightarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)](/images/math/5/7/1/57168dbe900e394c3483a085473ad00a.png)
Um diesen Beweis führen zu können, müssen wir uns auf den Reduktionssatz rückbesinnen. Dieser zeigte uns an, dass jede Drehung die NAF zweier Geradenspiegelungen ist. Ferner konnten wir zeigen, dass es unendlich viele Geradenpaare gibt, die die Bewegung ausführen.
Seien A, B, C drei nichtkollineare Punkte und
Bleibt zu zeigen, dass .
Weil ich unendlich viele Geradenpaare habe, für die gilt, dass kann ich mit ein weiteres Paar aussuchen. Ein weiterer Aspekt muss jedoch berücksichtigt werden: Der Schnittwinkel der beiden Geraden muss immer identisch sein. Wenn nun a' so gelegt wird, dass a' = b ist und b' so gelegt wird, dass b' = a ist, dann sind wir fertig, da nun gilt, dass
.
--Flo60 23:23, 4. Dez. 2011 (CET)