Schubspiegelung (2011/12): Unterschied zwischen den Versionen

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::Die Drehung <math>\red \left( S_{a} \circ S_{b'}\right)</math> kann wiederum durch andere geeignete Geradenspiegelungen <math>\red \left( S_{a'} \circ S_{b''}\right)</math>ersetzt werden. Wie wählen <math>\red a'</math> derart, dass <math>a' \perp g'</math> gilt. Aus <math>b'' \perp a'</math> folgt dann unmittelbar <math>b'' \|| g'</math>
 
::Die Drehung <math>\red \left( S_{a} \circ S_{b'}\right)</math> kann wiederum durch andere geeignete Geradenspiegelungen <math>\red \left( S_{a'} \circ S_{b''}\right)</math>ersetzt werden. Wie wählen <math>\red a'</math> derart, dass <math>a' \perp g'</math> gilt. Aus <math>b'' \perp a'</math> folgt dann unmittelbar <math>b'' \|| g'</math>
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Version vom 13. Dezember 2011, 14:31 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Die Idee

Entsprechend der Bezeichnung Schubspiegelung würde man unter einer Schubspiegelung dir Nacheinanderausführung Einer Verschiebung mit einer Geradenspiegelung verstehen. Diese Idee ist auch exakt das, was man unter einer Scubspieglung versteht. Trotzdem sie die Definition wie eine Einschränkung dieser Vorstellung aus.

Die Definition

Definition: (Schubspiegelung)

Es sei V=S_b \circ S_a eine Geradenspiegelung und g eine Gerade, die senkrecht auf den Spiegelachsen a und b steht. Die NAF S_g \circ V heißt Schubspiegelung mit der Schubspiegelachse g.

Spiegelschiebung?

Entsprechend obiger Definition ist die NAF einer Geradenspiegelung und einer Verschiebung kommutativ,falls sie den Bedingungen der Definition Schubspiegelung genügen.

Satz SCH/1

Es sei S_g \circ V eine Schubspieglung. Dann gilt S_g \circ V = V \circ S_g

Beweis

Es sei S_g \circ V = S_g \circ \left(S_b \circ S_a\right).
Die Geraden a,b, g haben damit die folgenden Eigenschaften.
  1. a \|| b
  2. g \perp a
  3. g \perp b
Beweis der Kommutativität S_g \circ \left( S_b \circ S_a \right) = \left( S_b \circ S_a \right) \circ S_g
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) SCH_g=S_g \circ \left( S_b \circ S_a \right) die gegebene Schubspiegelung als NAF dreier Geradenspiegelungen
(II) SCH_g = \left( S_g\circ S_b \right) \circ S_a (I), Assoziativität der NAF von Abbildungen
(III) SCH_g = \left(S_b \circ S_g \right) \circ S_a (II), 3.
(IV) SCH_g = S_b \circ \left( S_g \circ S_a \right) (III), Assoziativität der NAF von Abbildungen
(V) SCH_g = S_b \circ \left( S_a \circ S_g \right) (IV), 2.
(VI) SCH_g = \left(S_b \circ S_a \right) \circ S_g (VI), Assoziativität der NAF von Abbildungen
(VII) S_g \circ \left( S_b \circ S_a \right) = \left(S_b \circ S_a \right) \circ S_g (I), (VI)


Nach dem Beweis von Satz SCH/1 ist klar, dass die Einschränkung in der Definition Schubspiegelung sinnvoll ist, weil durch diese Einschränkung die Kommutativität der NAF von Geradenspiegelung und Verschiebung gewährleistet ist.

Im folgenden zeigen wir dass die Einschränkung in der Definition des Begriffs Schubspieglung letztlich nicht die Menge aller Schubspiegelungen einschränkt.

Satz SCH/2

Jede Nacheinanderausführung einer Verschiebung mit einer Geradenspiegelung ist eine Schubspiegelung entsprechend der Definition Schubspiegelung.

Beweis

Wir gehen aus von der NAF S_g \circ Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\blue“): \blue \left( S_b \circ S_a \right) 
mit a \|| b und  g \not{\perp} a, g \not{\perp} b. Es gelte g \cap a =S_1, g \cap b = S_2.
Schub 00.jpg
Wegen der Assoziativität der NAF von Abbildungen dürfen wir neu klammern:
Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\red“): \red \left( S_g \circ S_b \right)

\circ S_a

Schub 01.jpg
Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\red“): \red \left( S_g \circ S_b \right) 
ist eine Drehung um S_2 mit einem Drehwinkel, der doppelt so groß ist wie der Winkel zwischen b und g.
Dieselbe Drehung erhält man, wenn b und g durch zwei Geraden b' und g' mit b' \cap b' = \{S_2\}, \angle (b,g) \tilde= \angle (b',c') ersetzt und Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\red“): \red S_{g'} \circ S_{b'} 
verwendet.
Wir wählen b' derart, dass b' \perp a gilt.
Schub 02.jpg
Bisher haben wir damit die NAF
S_g \circ \left( S_b \circ S_a \right)
durch die NAF
(*) Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\red“): \red \left( S_{g'} \circ S_{b'} \right)

\circ S_a

ersetzt
Wegen der bereits mehrfach erwähnten Assoziativität dürfen wir in (*) neu klammern
Schub 03.jpg
und erhalten (**) S_{g'} \circFehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\red“): \red \left( S_{b'} \circ S_a \right)

.

Weil Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\red“): \red b' \perp a 
gilt ist (**) identisch zu
(***) S_{g'} \circFehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\red“): \red \left( S_{a} \circ S_{b'}\right)
Die Drehung Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\red“): \red \left( S_{a} \circ S_{b'}\right) 
kann wiederum durch andere geeignete Geradenspiegelungen Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\red“): \red \left( S_{a'} \circ S_{b''}\right)

ersetzt werden. Wie wählen Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\red“): \red a' 

derart, dass a' \perp g' gilt. Aus b'' \perp a' folgt dann unmittelbar b'' \|| g'
Schub 04.jpg
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