Zentrische Streckungen (2011/12): Unterschied zwischen den Versionen
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::Für jede zentrische Streckung <math>ZS_{Z,k}</math> gilt: Jede Gerade, die durch durch <math>Z</math> geht, ist ein Fixgerade bei <math>ZS_{Z,k}</math>. | ::Für jede zentrische Streckung <math>ZS_{Z,k}</math> gilt: Jede Gerade, die durch durch <math>Z</math> geht, ist ein Fixgerade bei <math>ZS_{Z,k}</math>. | ||
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::trivial (Der Leser überzeuge sich davon.) | ::trivial (Der Leser überzeuge sich davon.) | ||
===Satz II.12=== | ===Satz II.12=== | ||
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| − | ====Fall 1=== | + | ====Fall 1==== |
| + | ::<math>Z \in g</math> | ||
| + | ::: Nach Satz II.11 gilt <math>g \equiv g'</math> und damit <math>g \|| g'</math>. | ||
| + | ====Fall 2==== | ||
| + | :: <math>Z \not\in g</math> | ||
Version vom 25. Januar 2012, 18:02 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Zentrische Streckungen
Begriff der zentrischen Streckung
Definition II.07: (zentrische Streckung)
- Es sei
ein beliebig aber fest gewählter Punkt der Ebene 
. Ferner sei Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): k \in \mathbb{R} \setminus\left{ 0 \right}
- Es sei
. Unter der zentrischen Streckung 
mit dem Streckzentrum und dem Streckfaktor 
versteht man eine Abbildung von auf sich mit 
.
Experimentieren Sie mit verschiedenen Werten von und verschiedenen Positionen von 
(Strg + f löscht die Spur):
Eigenschaften zentrischer Streckungen
Satz II.08
- Eine zentrische Streckung ist genau dann die Identität, wenn
gilt.
- Eine zentrische Streckung
Beweis von Satz II.08
- trivial, entsprechend der Definition II.07
Satz II.09
- Es seien
drei Punkte und 
deren Bilder bei der zentrischen Streckung . Wenn 
, dann 
.
- Es seien
Beweis von Satz II.09
- Übungsaufgabe
- Hinweise:
- (I)
- (II)
- Den Rest erledigen die Strahlensätze.
- (I)
Satz II.10: Korollar aus Satz II.09
- Jede zentrische Streckung ist geradentreu.
Satz II.11
- Für jede zentrische Streckung gilt: Jede Gerade, die durch durch geht, ist ein Fixgerade bei .
- Für jede zentrische Streckung
Beweis II.11
- trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)
Satz II.12
- Es sei
eine Gerade und 
ihr Bild bei . Es gilt: 
.
- Es sei
Beweis von Satz II.12
Fall 1
- Nach Satz II.11 gilt
und damit .
- Nach Satz II.11 gilt
