Lösung von Aufgabe 4.3 S (SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen
Aus Geometrie-Wiki
(→Aufgabe 4.3) |
(→Aufgabe 4.3) |
||
Zeile 16: | Zeile 16: | ||
'''Lösungsvorschlag 1:''' | '''Lösungsvorschlag 1:''' | ||
− | 1. „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden.“ | + | 1.) „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden.“ |
− | + | 2.)<br />Voraussetzung: nkoll (A,B,C)<br />Behauptung: A,B und C sind paarweise verschieden<br />Annahme: 2 Punkte sind nicht paarweise verschieden (Widerspruch zur Behauptung..) | |
− | 5. „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> paarweise verschieden sind, dann sind sie nicht kollinear.“ --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 15:39, 13. Mai 2012 (CEST) | + | {| class="wikitable sortable" |
+ | !!!Beweisschritt!!Begründung | ||
+ | |- | ||
+ | | (1) || <math>\operatorname{nkoll}(A, B, C)</math> || Voraussetzung | ||
+ | |- | ||
+ | | (2) || oBdA: <math>A=B</math> ; <math>A \neq C </math> || Annahme | ||
+ | |- | ||
+ | | (3) || <math>\exists g:g=AC</math> || (2), Axiom I/1 | ||
+ | |- | ||
+ | | (4) || <math>\operatorname{koll}(A, B, C)</math> || (3), Def. kollinear | ||
+ | |- | ||
+ | | (5) || Widerspruch zur Voraussetzung || (4), (1) | ||
+ | |- | ||
+ | | (6) || Behauptung stimmt || (5) | ||
+ | |- | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | 3.) „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> nicht paarweise verschieden sind, dann sind sie kollinear.“ | ||
+ | |||
+ | 5.) „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> paarweise verschieden sind, dann sind sie nicht kollinear.“ --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 15:39, 13. Mai 2012 (CEST) |
Version vom 13. Mai 2012, 17:55 Uhr
Aufgabe 4.3
Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.
- Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien
,
und
drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn
,
und
… , dann … .“
- Beweisen Sie Satz I indirekt mit Widerspruch.
- Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
- Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
- Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
- Gilt auch die Umkehrung von Satz I?
Lösungsvorschlag 1:
1.) „Wenn ,
und
nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden.“
2.)
Voraussetzung: nkoll (A,B,C)
Behauptung: A,B und C sind paarweise verschieden
Annahme: 2 Punkte sind nicht paarweise verschieden (Widerspruch zur Behauptung..)
Beweisschritt | Begründung | |
---|---|---|
(1) | ![]() |
Voraussetzung |
(2) | oBdA: ![]() ![]() |
Annahme |
(3) | ![]() |
(2), Axiom I/1 |
(4) | ![]() |
(3), Def. kollinear |
(5) | Widerspruch zur Voraussetzung | (4), (1) |
(6) | Behauptung stimmt | (5) |
3.) „Wenn ,
und
nicht paarweise verschieden sind, dann sind sie kollinear.“
5.) „Wenn ,
und
paarweise verschieden sind, dann sind sie nicht kollinear.“ --Tchu Tcha Tcha 15:39, 13. Mai 2012 (CEST)