Lösung von Aufgabe 4.3 S (SoSe 12)

Aufgabe 4.3

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

1. Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien $A$, $B$ und $C$ drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn $A$,$B$ und $C$ … , dann … .“
2. Beweisen Sie Satz I indirekt mit Widerspruch.
3. Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
4. Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
5. Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
6. Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

Lösungsvorschlag 1 (Nummero6)

Teilaufgabe 1

„Wenn $A$,$B$ und $C$ nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden.“

Teilaufgabe 2

Voraussetzung: nkoll (A,B,C)
Behauptung: A,B und C sind paarweise verschieden
Annahme: 2 Punkte sind nicht paarweise verschieden (Widerspruch zur Behauptung..)

	Beweisschritt	Begründung
(1)	$\operatorname{nkoll}(A, B, C)$	Voraussetzung
(2)	oBdA: $A=B$ ; $A \neq C$	Annahme
(3)	$\exists g:g=AC$	(2), Axiom I/1
(4)	$\operatorname{koll}(A, B, C)$	(2), (3), Def. kollinear
(5)	Widerspruch zur Voraussetzung	(4), (1)
(6)	Behauptung stimmt	(5)

• Wie sieht es aus, wenn alle drei Punkte identisch sind, also A = B = C?--Tutor Andreas 18:15, 22. Mai 2012 (CEST)
  

Überlegung: Umkehrung wäre ja: Wenn 3 Punkte nicht paarweise verschieden sind, dann sind sie kollinear.
??? Können 3 identische Punkte (eigentlich genau 1 Punkt) kollinear sein, d.h. gibt es laut Def. kollinear eine Gerade, die alle Punkte der Menge enthält?! Eine Gerade muss doch nach Axiom I.2 mindestens 2 verschiedene Punkte haben, was in unserem Fall nicht gegeben wäre.. Wenn ja, dann würde für A = B = C gelten, dass koll(A,B,C) gilt, was ein Widerspruch zur Voraussetzung nkoll(A,B,C) ist....
--Tchu Tcha Tcha 16:46, 19. Jun. 2012 (CEST)

Teilaufgabe 3

„Wenn $A$,$B$ und $C$ nicht paarweise verschieden sind, dann sind sie kollinear.“

Teilaufgabe 4

Voraussetzung: mindestens 2 der 3 Punkte (A,B,C) sind identisch
Behauptung: koll (A,B,C)

	Beweisschritt	Begründung
(1)	oBdA: $A=B ; A \neq C$	Voraussetzung
(2)	$\exists g:g=AC$	(1), Axiom I/1
(3)	$\operatorname{koll}(A, B, C)$	(1), (2), Def. kollinear

• Auch hier wurde nur ein Fall bewiesen. Wie sieht der zweite Fall aus und wie wird er bewiesen?--Tutor Andreas 18:18, 22. Mai 2012 (CEST)
  

vgl. Überlegung Teilaufgabe 2 (A=B=C)...Nur würde dies hier bedeuten, dass die Behauptung stimmt. Da es aber ein Widerspruch zu Axiom I.2 ist, bin ich der Meinung, dass man für 3 identische Punkte nicht sagen kann/darf, dass koll oder nkoll gilt--Tchu Tcha Tcha 16:59, 19. Jun. 2012 (CEST)

Teilaufgabe 5

„Wenn $A$,$B$ und $C$ paarweise verschieden sind, dann sind sie nicht kollinear.“

Teilaufgabe 6

Die Umkehrung von Satz I gilt NICHT!!! (siehe Gegenbeispiel)

--Tchu Tcha Tcha 19:12, 13. Mai 2012 (CEST)

Lösungsvorschlag 2 (Nemo81)

Hier mal meine Lösung, glaube dass die nicht wirklich gut ist.

@Nemo81 Es gibt nichts Gutes, außer man tut es. --*m.g.* 19:05, 19. Mai 2012 (CEST) Ich hab Ihre Ausführungen hier nur mal wegen der besseren Übersichlichkeit in ein Tabelle eingetragen. Jetzt starte ich mal auf der Hauptseite einen Aufruf, Ihnen zu helfen.

Vor: A,B,C nkoll
Beh: A,B,C paarweise verschieden

Ann: Fall 1 A=B=C

Nr.	Beweisschritt	Begründung
1)	A,B,C nkoll	laut Vor
2)	Es gibt eine Menge von Geraden AB,AC,BC	laut Axiom I/1 und 1) (nach Axiom I/1 gibt es zu zwei voneinander versch. Punkten genau eine Gerade. Da A=B=C gilt kann dieser Schritt nicht so formuliert werden. --Tutor Andreas 11:32, 19. Jun. 2012 (CEST))
3)	A=B=C	laut Ann
4)	Es exsistiert eine Gerade g mit A,B,C Element von g	Def I/2 Kollinear und 3) (Druch den Punkt A=B=C gibt es unendlich viele Geraden. Man benötigt zwei verschiedene Punkte um eine Gerade eindeutig zu bestimmen.--Tutor Andreas 11:32, 19. Jun. 2012 (CEST))
5)	Widerspruch zur Behauptung	laut 1) und 2) gibt es Eine Menge von Geraden die AB,AC,BC und laut 3) und 4) sollen die Punkte A,B,C auf einer Geraden g liegen.

Dieser Beweis enthält einen Zirkelschluss. In Schritt 2 wird etwas falsches gefolgert und dann in Schritt 4 und 5 ein Widerspruch dazu hergeleitet. Somit ist nur bewiesen, dass Schritt 2 nicht korrekt sein kann, aber der Satz an sich ist damit noch nicht bewiesen. --Tutor Andreas 11:32, 19. Jun. 2012 (CEST)

--Nemo81 14:22, 19. Mai 2012 (CEST)