Lösung von Aufgabe 4.3 S (SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen
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Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden. | Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden. | ||
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+ | Hier mal meine Lösung, glaube dass die nicht wirklich gut ist. | ||
+ | Vor: A,B,C nkoll | ||
+ | Beh: A,B,C paarweise verschieden | ||
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+ | Ann: Fall 1 A=B=C | ||
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+ | 1) A,B,C nkoll laut Vor | ||
+ | 2)Es gibt eine Menge von Geraden laut Axiom I/1 und 1) | ||
+ | AB,AC,BC | ||
+ | 3)A=B=C laut Ann | ||
+ | 4) Es exsistiert eine Gerade g Def I/2 Kollinear und 3) | ||
+ | mit A,B,C Element von g | ||
+ | 5) Widerspruch zur Behauptung laut 1) und 2) gibt es Eine Menge von Geraden die AB,AC,BC | ||
+ | und laut 3) und 4) sollen die Punkte A,B,C auf einer Geraden g liegen. | ||
+ | --[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 14:15, 19. Mai 2012 (CEST) |
Version vom 19. Mai 2012, 14:15 Uhr
Aufgabe 4.3
Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.
- Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien , und drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn , und … , dann … .“
- Beweisen Sie Satz I indirekt mit Widerspruch.
- Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
- Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
- Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
- Gilt auch die Umkehrung von Satz I?
Lösungsvorschlag 1:
1) „Wenn , und nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden.“
2)
Voraussetzung: nkoll (A,B,C)
Behauptung: A,B und C sind paarweise verschieden
Annahme: 2 Punkte sind nicht paarweise verschieden (Widerspruch zur Behauptung..)
Beweisschritt | Begründung | |
---|---|---|
(1) | Voraussetzung | |
(2) | oBdA: ; | Annahme |
(3) | (2), Axiom I/1 | |
(4) | (2), (3), Def. kollinear | |
(5) | Widerspruch zur Voraussetzung | (4), (1) |
(6) | Behauptung stimmt | (5) |
3) „Wenn , und nicht paarweise verschieden sind, dann sind sie kollinear.“
4)
Voraussetzung: mindestens 2 der 3 Punkte (A,B,C) sind identisch
Behauptung: koll (A,B,C)
Beweisschritt | Begründung | |
---|---|---|
(1) | oBdA: | Voraussetzung |
(2) | (1), Axiom I/1 | |
(3) | (1), (2), Def. kollinear |
5) „Wenn , und paarweise verschieden sind, dann sind sie nicht kollinear.“
6) Die Umkehrung von Satz I gilt NICHT!!! (siehe Gegenbeispiel)
--Tchu Tcha Tcha 19:12, 13. Mai 2012 (CEST)
Hier mal meine Lösung, glaube dass die nicht wirklich gut ist. Vor: A,B,C nkoll Beh: A,B,C paarweise verschieden
Ann: Fall 1 A=B=C
1) A,B,C nkoll laut Vor
2)Es gibt eine Menge von Geraden laut Axiom I/1 und 1)
AB,AC,BC
3)A=B=C laut Ann
4) Es exsistiert eine Gerade g Def I/2 Kollinear und 3)
mit A,B,C Element von g
5) Widerspruch zur Behauptung laut 1) und 2) gibt es Eine Menge von Geraden die AB,AC,BC
und laut 3) und 4) sollen die Punkte A,B,C auf einer Geraden g liegen.
--Nemo81 14:15, 19. Mai 2012 (CEST)