Lösung von Aufgabe 4.4 S (SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen
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Fall_2: Parallelität. Keine Punkte gemeinsam. Siehe Aufgabenstellung : "Beweisen Sie Satz I.6: Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam." Ein oder kein Punkt gemeinsam? | Fall_2: Parallelität. Keine Punkte gemeinsam. Siehe Aufgabenstellung : "Beweisen Sie Satz I.6: Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam." Ein oder kein Punkt gemeinsam? | ||
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| + | Wir gehen also von einer Geraden <math>g</math> und einer Ebene <math>E</math> aus. Diese mögen derart zueinander liegen, dass die Gerade <math>g</math> nicht vollständig in der Ebene <math>E</math> liegt. | ||
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| + | Zeigen sollen wir jetzt, dass <math>g</math> und <math>E</math> maximal einen Punkt gemeinsam haben können. | ||
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| + | Unsere Arbeit wäre getan, wenn wir gezeigt hätten, dass <math>g</math> und <math>E</math> nicht mehr als einen Punkt gemeinsam haben können. Diese erledigen wir sinnvollerweise indirekt per Widerspruch. Wenn uns das gelungen ist, haben wir gezeigt, dass <math>g</math> und <math>E</math> nicht mehr als einen Punkt gemeinsam haben können. | ||
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| + | Es wären jetzt natürlich zwei Fälle möglich: | ||
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| + | # <math>\cap E = \not O</math>g | ||
| + | # <math>\exist P: P \in g \wedge P \in E</math> | ||
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Version vom 7. Juni 2012, 13:39 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Aufgabe 4.4
Die Aufgabe
Beweisen Sie Satz I.6: Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.
Lösung von Nemo81
Vor: Ebene E und nicht in ihr liegende Gerade g
Beh: E geschnitten g höchstens einen Punkt gemeinsam
Beweis durch Widerspruch
Ann: E geschnitten g mindestens zwei Punkte gemeinsam
Beweise:
| Beweisschritt | Begründung |
|---|---|
| 1) Ebene E und nicht in ihr liegende Geradeng. | Vor |
| 2) E geschnitten g = Punkt P und es existiert mindestens ein Punkt Q für den gilt Q ist nicht Element der Ebene. | (Beh) |
| 3) Punkte PQ liegen in der Ebene E. | ( Ann) |
| 4) PQ bildet Gerade g die in der Ebene E liegt. | (3), Axiom I/1, Axiom I/5) |
| 5)Widerspruch zur Vor. | (4),3),2)) |
--Nemo81 15:10, 20. Mai 2012 (CEST)
Hinweis von Tutor Andreas
- Die Idee ist soweit ganz gut. Mich verwirrt nur, dass die Behauptung im Beweis vorkommt und dass sich Schritt 2 und Schritt 3 widersprechen. Dies sollte noch verbessert werden.--Tutor Andreas 18:27, 22. Mai 2012 (CEST)
Frage von unserer Mutter
Sollte man nicht 2 Fälle betrachten?
Fall_1: Wie oben. Gemeinsamer Punkt.
Fall_2: Parallelität. Keine Punkte gemeinsam. Siehe Aufgabenstellung : "Beweisen Sie Satz I.6: Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam." Ein oder kein Punkt gemeinsam? „deine Mutter 13:01, 7. Jun. 2012 (CEST)“
Kommentare M.G.
@ deine Mutter
Wir gehen also von einer Geraden 
und einer Ebene 
aus. Diese mögen derart zueinander liegen, dass die Gerade nicht vollständig in der Ebene liegt.
Zeigen sollen wir jetzt, dass und maximal einen Punkt gemeinsam haben können.
Unsere Arbeit wäre getan, wenn wir gezeigt hätten, dass und nicht mehr als einen Punkt gemeinsam haben können. Diese erledigen wir sinnvollerweise indirekt per Widerspruch. Wenn uns das gelungen ist, haben wir gezeigt, dass und nicht mehr als einen Punkt gemeinsam haben können.
Es wären jetzt natürlich zwei Fälle möglich:
-
g
-
