Lösung von Aufgabe 6.10: Unterschied zwischen den Versionen
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** (2) Analog, nur bei der Strecken-Ungleichung muss dann der Radius jeweils größer als die Strecke <math>\ |M_1C| </math> bzw.<math> |M_2C| </math> sein. (<math>\ |M_1C| < |r_1| \land |M_2C| < |r_2|</math>) | ** (2) Analog, nur bei der Strecken-Ungleichung muss dann der Radius jeweils größer als die Strecke <math>\ |M_1C| </math> bzw.<math> |M_2C| </math> sein. (<math>\ |M_1C| < |r_1| \land |M_2C| < |r_2|</math>) | ||
* Dadurch haben wir beweiesen, dass Gegen-Behauptung (1) und (2) zu Widersprüchen führen und nur die Behauptung "Die beiden Kreisen haben genau einen gemeinsamen Punkt" gültig ist. Oder...? | * Dadurch haben wir beweiesen, dass Gegen-Behauptung (1) und (2) zu Widersprüchen führen und nur die Behauptung "Die beiden Kreisen haben genau einen gemeinsamen Punkt" gültig ist. Oder...? | ||
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Version vom 4. Juni 2010, 05:48 Uhr
Der folgende Satz bezieht sich auf die ebene Geometrie.
Satz:
- Es seien
und
zwei Kreise mit den Mittelpunkten
bzw.
und den Radien
bzw.
.
- Es seien
Die Kreise und
haben dann und nur dann einen und nur einen Punkt
gemeinsam, wenn
gilt.
- Formulieren Sie den Satz ohne die Verwendung der Phrasen dann und nur dann sowie einen und nur einen.
- Sie haben sicherlich erkannt, dass es sich bei dem Satz um eine Äquivalenz handelt. Formulieren Sie die beiden Implikationen, die diese Äquivalenz beinhaltet.
- Beweisen Sie die beiden Implikationen.
1. Reicht es, wenn man mit "genau" arbeitet?
Die Kreise und
haben genau dann genau einen Punkt
gemeinsam, wenn
gilt.
2. I) Wenn gilt, dann haben die beiden Kreise
und
genau einen Punkt gemeinsam, den Berührpunkt S.
II) Wenn zwei Kreise und
genau einen Punkt gemeinsam haben, so gilt
3. Beweisen Sie die beiden Implikationen Teil 1
I)
- Skizze
- Vorraussetzung: Die Strecke
ist so lang wie die Summe der beiden Radien
und
.
- Behauptung: Die beiden Kreisen haben genau einen gemeinsamen Punkt.
- Gegen-Behauptung (1): Es gibt KEINEN gemeinsamen Punkt
- Gegen-Behauptung (2): Es gibt MEHR ALS EINEN gemeinsamen Punkt.
- Indirekter Beweis:
- (1) Die Strecke
setzt sich zusammen aus den Strecken
und
, wobei
zwischen
und
liegt. (Definition II.1: (Zwischenrelation): Ein Punkt
liegt zwischen zwei Punkten
und
, wenn
gilt (...) ).
- Dieser Punkt C liegt "außerhalb" beider Kreise (Gegen-Behauptung (1) )
- Dadurch ist die Strecke
größer als der Radius von
, und die Strecke
größer als der Radius von
(
)
- Daraus resultiert:
(Widerspruch zu Vorraussetzung und Schritt 1, da
)
- (2) Analog, nur bei der Strecken-Ungleichung muss dann der Radius jeweils größer als die Strecke
bzw.
sein. (
)
- (1) Die Strecke
- Dadurch haben wir beweiesen, dass Gegen-Behauptung (1) und (2) zu Widersprüchen führen und nur die Behauptung "Die beiden Kreisen haben genau einen gemeinsamen Punkt" gültig ist. Oder...?
3. Beweisen Sie die beiden Implikationen Teil 2
II)....
--Heinzvaneugen