Lösung von Aufgabe 6.10

Der folgende Satz bezieht sich auf die ebene Geometrie.
Satz:

Es seien $\ k_1$ und $\ k_2$ zwei Kreise mit den Mittelpunkten $\ M_1$ bzw. $\ M_2$ und den Radien $\ r_1$ bzw. $\ r_2$. Keiner der Mittelpunkte möge dabei im Inneren des jeweils anderen Kreises liegen.

Die Kreise $\ k_1$ und $\ k_2$ haben dann und nur dann einen und nur einen Punkt $\ S$ gemeinsam, wenn $\ |M_1M_2|=|r_1|+|r_2|$ gilt.

1. Formulieren Sie den Satz ohne die Verwendung der Phrasen dann und nur dann sowie einen und nur einen.
2. Sie haben sicherlich erkannt, dass es sich bei dem Satz um eine Äquivalenz handelt. Formulieren Sie die beiden Implikationen, die diese Äquivalenz beinhaltet.
3. Beweisen Sie die beiden Implikationen.

Lösung der Aufgabe --*m.g.* 09:08, 21. Jun. 2010 (UTC)

Teilaufgabe 1

Die Formulierung "eine und nur eine" ist äquivalent zu "genau eine".

Die Lösung von Heinzvaneugen kann also 1 zu 1 übernommen werden:

Die Kreise $\ k_1$ und $\ k_2$ haben genau dann genau einen Punkt $\ S$ gemeinsam, wenn $\ |M_1M_2|=|r_1|+|r_2|$ gilt.

Teilaufgabe 2

Die Lösung von Heinzvaneugen ist korrekt.

allgemeiner Teil für beide Implikationen

Es seien $\ k_1$ und $\ k_2$ zwei Kreise mit den Mittelpunkten $\ M_1$ bzw. $\ M_2$ und den Radien $\ r_1$ bzw. $\ r_2$.

Implikation I (-->)

Wenn $\ |M_1M_2|=|r_1|+|r_2|$, dann haben die beiden Kreise $\ k_1$ und $\ k_2$ genau einen Punkt gemeinsam.

andere möglich Formulierung (neben vielen weiteren, die hier nicht alle aufgezeigt werden sollen und können):

Wenn für zwei Kreise gilt, dass die Summe der Längen ihrer Radien gleich dem Abstand ihrer Mittelpunkte ist, dann existiert genau ein Punkt $\ S$, den die beiden Kreise gemeinsam haben.

(Der allgemein Teil zuvor ist hier mit aufgenommen und hätte nicht extra formuliert werden müssen.)

Implikation II (<--)

Wenn $\ k_1$ und $\ k_2$ genau einen Punkt gemeinsam haben, so gilt $\ |M_1M_2|=|r_1|+|r_2|$.

Bemerkung zu der Formulierung von Heinzvaneugen:

Sie formulieren: Wenn zwei Kreise $\ k_1$ und $\ k_2$ ... .

Die beiden Kreise wurden aber vorab schon festgelegt. Es seien $\ k_1$ und $\ k_2$ ... . Jetzt bleiben wir natürlich in den weiteren Formulierungen bei diesen zunächst beliebigen, dann aber festen Kreisen. Also besser: Wenn die Kreise $\ k_1$ und $\ k_2$ ... . Oder: Wenn $\ k_1$ und $\ k_2$ ... .

Teilaufgabe 3

Beweis von Implikation I

Voraussetzung

$\left| M_1M_2 \right| = \left|r_1\right| + \left| r_2 \right|$

Behauptung 1 (Existenzaussage)

Es gibt einen Punkt $\ S$, der sowohl zu $\ k_1$ als auch zu $\ k_2$ gehört.

Behauptung 2 (Eindeutigkeitsaussage)

Es gibt nicht mehr als einen Punkt $\ S$ den $\ k_1$ und $\ k_2$ gemeinsam haben.

Beweis der Existenzaussage (Behauptung 1)

Nachzuweisen ist die Existenz eines Punktes $\ S$ der sowohl zu $\ k_1$ als auch zu $\ k_2$ gehört.

Der Kreis $\ k_1$ ist die Menge aller Punkte unserer Ebene, die zu dem Punkt $\ M_1$ den Abstand $\left| r_1 \right|$ haben.

Der Kreis $\ k_2$ ist die Menge aller Punkte unserer Ebene, die zu dem Punkt $\ M_2$ den Abstand $\left| r_2 \right|$ haben.

Wir haben also die Existenz eines Punktes$\ S$ nachzuweisen, für den gilt:

$\left| SM_1 \right| = \left| r_1 \right|$

und

$\left| SM_2 \right| = \left| r_2 \right|$

Wir konstruieren uns einen solchen Punkt $\ S$ wie folgt:

Wir gehen von dem Strahl $\ M_1M_2^+$ aus.

Auf $\ M_1M_2^+$ gibt es nach dem Axiom vom Lineal genau einen Punkt $\ S$ , der zu $\ M_1$ den Abstand $\left| r_1 \right|$ hat: $\left| M_1S \right| = \left| r_1 \right|$

Jetzt gilt: (*) Der Punkt $\ S$ liegt zwischen den Punkten $\ M_1$ und $\ M_2$

Begründung von (*):

Der Punkt $\ S$ fällt nicht mit $\ M_1$ zusammen: $\ | r_1 |= 0$ , entarteter Kreis.

Der Punkt $\ S$ fällt nicht mit $\ M_2$ zusammen: entsprechend der Voraussetzung würde jetzt $\ k_2$ entarten.

Annahme: $\neg \operatorname{Zw} \left( M_1, S, M_2 \right)$

Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass $\ S$ ein Punkt der Halbgeraden $\ M_1M_2^+$ ist, kann jetzt nur noch $\operatorname{Zw} \left( M_1, M_2, S \right)$ gelten:

$\operatorname{Zw} \left( M_1, M_2, S \right)$ bedeutet: (**) $\left| M_1M_2 \right| + \left| M_2S \right| = \left| M_1S \right|$

Der Punkt $\ S$ wurde so gewählt, dass sein Abstand $zu \ M_1$ die Zahl $\left| r_1 \right|$ ist, womit (**) auch wie folgt geschrieben werden kann:

(***) $\left| M_1M_2 \right| + \left| M_2S \right| = \left|r_1 \right|$

Unter Berücksichtigung der Voraussetzung $\left| M_1M_2 \right| = \left|r_1\right| + \left| r_2 \right|$ gilt entsprechend (***) auch (****) $\left|r_1 \right| + \left|r_2 \right|+ \left| M_2S \right| = \left|r_1 \right|$

Da nun$\ | r_1 |, |r_2|$ und $\ | M_2S |$ positive reelle Zahlen sind, ist (****) ein Widerspruch in sich. Die Annahme $\neg \operatorname{Zw} \left( M_1, S, M_2 \right)$
ist zu verwerfen.

Nach diesen Ausführungen können wir also davon ausgehen, dass der von uns konstruierte Punkt $\ S$ zwischen den Punkten $\ M_1$ und $\ M_2$ liegt. Aus $\operatorname{Zw} \left( M_1, S, M_2 \right)$ folgt:

(i) $\ | M_1S | + | SM_2| = | M_1M_2 |$

Unter Berücksichtigung der Voraussetzung $\ | r_1 | + | r-2 | = | M_1M_2 |$ läßt sich (i) als

(ii) $\ | M_1S | + | SM_2| = | r_1 | + | r_2 |$

schreiben.

Da $\ S$ so gewählt wurde, dass $\ | M_1S | = | r_1 |$ gilt, ist auch

(iii) $\ | r_1 | + | SM_2| = | r_1 | + | r_2 |$

gültig.

Aus (iii) folgt unmittelbar $\ | SM_2| = | r_2 |$.

Damit gehört der Punkt $\ S$ sowohl zu $\ k_1$ als auch zu $\ k_2$.
Die Existenz des gemeinsamen Punktes $\ S$ der beiden Kreise $\ k_1$ und $\ k_2$ ist damit nachgewiesen.

Beweis der Eindeutigkeitsaussage (Behauptung 2)

Annahme:$\exists T: T \not\equiv S \wedge | TM_1 | = | r_1 | \wedge | TM_2 | = | r_2 |$

Wegen $\ | r_1 | + | r_2 | = | M_1M_2 |$ und $| TM_1 | = | r_1 |$ und $| TM_2 | = | r_2 |$ gilt:

$\operatorname{Zw} \left( M_1, T, M_2 \right)$

und damit natürlich auch

$\ T \in M_1M_2^+$

Damit sind $\ S$ und $\ T$ zwei verschiedene Punkte auf dem Strahl $M_1M_2^+$ die zum Anfangspunkt dieses Strahls ein und denselben Abstand $\ | r_1 |$ haben.

Das wäre allerdings ein Widerspruch zur Eindeutigkeitsaussage des Axioms vom Lineal.

Zum Beweis von Heinzvaneugen

Sie wollen beweisen: Aus $\ | r_1 | + | r_2 | = | M_1M_2 |$ folgt, dass die beiden Kreise genau einen Punkt gemeinsam haben. Sie führen den Beweis indirekt und negieren bei Beibehaltung der Voraussetzung die Behauptung. Das ist korrekt, so führt man vom Prinzip her indirekte Beweise. Unsere Behauptung besteht eigentlich aus zwei Aussagen: Die beiden Kreise haben einen Punkt gemeinsam und zwar nur einen. Sie negieren die Behauptung korrekt. Die Negation von Die beiden Kreise haben genau einen Punkt gemeinsam ist Die beiden Kreise haben nicht genau einen Punkt gemeinsam. Letzteres bedeutet, dass die beiden Kreise entweder überhaupt keinen Punkt gemeinsam haben (Negation der Existenzaussage) oder dass sie mehr als einen Punkt gemeinsam haben (Negation der Eindeutigkeitsaussage). Das sind in der Tat Ihre beiden Gegenannahmen. Bis hier hin ist alles in Ordnung.

Jetzt kommt der eigentliche Beweis. Sie wählen auf der Strecke $\ \overline{M_1M_2}$ einen ominösen Punkt $\ C$. Den wird es sicherlich geben (Axiom vom Lineal). Jetzt kommt der Knackpunkt ihres Beweises. Ihre Gegenannahme 1 besagt, dass die beiden Kreise keinen Punkt gemeinsam haben. Damit, so folgern Sie (und soweit ist das auch korrekt), kann der Punkt $\ C$ definitiv nicht gleichzeitig zu den beiden Kreisen $\ k_1$ und $\ k_2$ gehören. Was heißt aber $\ C$ gehört nicht gleichzeitig zu $\ k_1$ und zu $\ k_2$?

1. $\ C$ gehört zu $\ k_1$ aber nicht zu $\ k_2$
2. $\ C$ gehört zu $\ k_2$ aber nicht zu $\ k_1$
3. $\ C$ gehört weder zu $\ k_1$ noch zu $\ k_2$

Fall 3 lässt wieder in Unterfälle aufdröseln:

1. $\ C$ liegt sowohl außerhalb von $\ k_1$ als auch von $\ k_2$. ($\ | M_1C | > | r_1 | \wedge | M_2C | > | r_2 |$)
2. $\ C$ liegt innerhalb von $\ k_1$ und außerhalb von $\ k_2$.($\ | M_1C | < | r_1 | \wedge | M_2C | > | r_2 |$)
3. $\ C$ liegt außerhalb von $\ k_1$ und innerhalb von $\ k_2$.($\ | M_1C | > | r_1 | \wedge | M_2C | < | r_2 |$)
4. $\ C$ liegt sowohl innerhalb von $\ k_1$ als auch innerhalb von $\ k_2$.($\ | M_1C | < | r_1 | \wedge | M_2C | < | r_2 |$)

Sie berücksichtigen in Ihrem Beweis hinsichtlich der Gegenbehauptung 1 nur den Fall 3.1. Das reicht nicht, um diese Gegenbehauptung ad absurdum zu führen.

Genug der Negativdiskussion:

1. Sie haben den Teil des Beweises, der sich auf Fall 3.1 bezieht absolut korrekt geführt. Alle weiteren Fälle würde man sicherlich in gewisser Weise analog führen.
   Schreiben Sie also in Ihren Teilbeweis (Negation der Existenz): andere Fälle: analog (der Leser überzeuge sich davon).
   
   
2. Sie haben eine sehr wichtige Erfahrung gemacht. Diese Erfahrung ist letztlich viel wichtiger als der gesamte korrekte Beweis. Weil Sie versuchten einen Existenzbeweis indirekt zu führen, haben Sie sich das Leben etwas zu schwer gemacht. Ich will und kann hier keine Regel aufstellen: Existenzbeweise führt man besser immer direkt. Es mag auch Fälle geben, in denen ein indirekter Existenzbeweis eleganter als die direkte Methode ist. Aber in der größten Zahl der Fälle führt der direkte Existenzbeweis schneller zum Ziel.
   
   Was ist ein Existenzbeweis? Man hat nachzuweisen, dass es bestimmte Repräsentanten eines Begriffs gibt. Dieser Nachweis ist letzlich eine Konstruktionsaufgabe. Insbesondere dann, wenn man vorab schon überzeugt davon ist, dass entsprechende Repräsentanten wirklich existieren, wird man wohl eher damit beginnen, einen solchen Repräsentanten zu konstruieren, als zu versuchen nachzuweisen, dass die Aussage "Meine Konstruktionsaufgabe ist nicht lösbar" falsch ist.
   
   Die Idee, bei Existenzbeweisen erst mal einen direkten Beweis zu versuchen, ist eine heuristische Regel. Heuristik ist vor allem Erfahrung. Erfahrungen muss man vor allem selbst machen. Natürlich kann man von den Erfahrungen anderer profitieren, aber die eigene Erfahrung ist sicherlich nachhaltiger.

Beweis der Implikation II

muss noch geschrieben werden, allein mir fehlt momentan die Zeit, in der nächsten freien Minute (eher Stunde) werde ich das Schreiben der Lösung fortsetzen.--*m.g.* 13:17, 21. Jun. 2010 (UTC)

bisherige Diskussionen

1. Reicht es, wenn man mit "genau" arbeitet?
Die Kreise $\ k_1$ und $\ k_2$ haben genau dann genau einen Punkt $\ S$ gemeinsam, wenn $\ |M_1M_2|=|r_1|+|r_2|$ gilt.
2. I) Wenn $\ |M_1M_2|=|r_1|+|r_2|$ gilt, dann haben die beiden Kreise $\ k_1$ und $\ k_2$ genau einen Punkt gemeinsam, den Berührpunkt S.
II) Wenn zwei Kreise $\ k_1$ und $\ k_2$ genau einen Punkt gemeinsam haben, so gilt $\ |M_1M_2|=|r_1|+|r_2|$
3. Beweisen Sie die beiden Implikationen Teil 1
I)

• Skizze
• Vorraussetzung: Die Strecke $\ |M_1M_2|$ ist so lang wie die Summe der beiden Radien $\ |r_1|$ und $|r_2|$.
• Behauptung: Die beiden Kreisen haben genau einen gemeinsamen Punkt.
• Gegen-Behauptung (1): Es gibt KEINEN gemeinsamen Punkt
• Gegen-Behauptung (2): Es gibt MEHR ALS EINEN gemeinsamen Punkt.
• Indirekter Beweis:
  • (1) Die Strecke $\ |M_1M_2|$ setzt sich zusammen aus den Strecken $\ |M_1C|$ und $\ |CM_2|$, wobei $\ C$ zwischen $\ M_1$ und $\ M_2$ liegt. (Definition II.1: (Zwischenrelation): Ein Punkt $\ B$ liegt zwischen zwei Punkten $\ A$ und $\ C$, wenn $\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|$ gilt (...) ).
  • Dieser Punkt C liegt "außerhalb" beider Kreise (Gegen-Behauptung (1) )
  • Dadurch ist die Strecke $\ |M_1C|$ größer als der Radius von $\ k_1$, und die Strecke $\ |M_2C|$ größer als der Radius von $\ k_2$ ($\ |M_1C| > |r_1| \land |M_2C| > |r_2|$)
  • Daraus resultiert: $\ |M_1C| + |M_2C| > |r_1| + |r_2|$ (Widerspruch zu Vorraussetzung und Schritt 1, da $\ |M_1C| + |M_2C| = |M_1M_2| = |r_1| + |r_2|$)
  • (2) Analog, nur bei der Strecken-Ungleichung muss dann der Radius jeweils größer als die Strecke $\ |M_1C|$ bzw.$|M_2C|$ sein. ($\ |M_1C| < |r_1| \land |M_2C| < |r_2|$)
• Dadurch haben wir beweiesen, dass Gegen-Behauptung (1) und (2) zu Widersprüchen führen und nur die Behauptung "Die beiden Kreisen haben genau einen gemeinsamen Punkt" gültig ist. Oder...?

3. Beweisen Sie die beiden Implikationen Teil 2
II)....
--Heinzvaneugen