Halbebenen oder das Axiom von Pasch: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 4. Juni 2010, 07:26 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Halbebenen und das Axiom von Pasch
Halbebenen
Analogiebetrachtungen
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Definition des Begriffs der Halbebene
Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen
Offene Halbebenen
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene , die nicht auf einer Geraden
dieser Ebene liegen, durch diese Gerade
eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von
bezüglich der Trägergeraden
. Der nicht zu
gehörende Referenzpunkt
bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich
mit
auf derselben Seite liegen, wird mit
bezeichnet, die andere offene Halbebene von
bezüglich
und
mit
.
Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was es denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte und
einer Ebene
auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden
liegen.
Definition IV.1: (offene Halbebene)
- Es sei
eine Ebene in der die Gerade
liegen möge. Ferner sei
ein Punkt der Ebene
, der nicht zur Geraden
gehört.
Unter den offenen Halbebenenund
bezüglich der Trägergeraden
versteht man die folgenden Punktmengen:
- Es sei
Halbebenen
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.
Definition IV.2: (Halbebene)
Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen
Repräsentantenunabhängigkeit?
Satz IV.1
- Wenn
ein Punkt der Halbebene
ist, dann gilt
und
.
- Wenn
Beweis des Satzes IV.1
Fehlanzeige