Diskussion:Halbebenen oder das Axiom von Pasch

Analogiebetrachtungen bezüglich des Begriffes der Halbebene

alte Version 21:28, 23. Jun. 2010 (UTC)

Halbgeraden	Halbebenen

Objekt $\ G$, das in Klassen eingeteilt wird
$\ G$ ist eine Gerade	$\ G$ ist eine Ebene
Dimension von $\ G$
eindimensional	zweidimensional
Objekt $\ T$, das $\ G$ in Klassen einteilt
Anfangspunkt A	Bezugspunkt P
Dimension von $\ T$
eindimensional	eindimensional
Referenzpunkt $\ Q$ teilt $\ G \setminus_{\{ Q \}}$ in genau zwei Klassen
Klasse 1: Menge aller Punkte $\ P\mathrm{\in }G$ , die mit $\ Q$ bezüglich $\ T$ „auf derselben Seite liegen“
$\ AQ^{+} = \{P| Zw(A,P,Q)\lor Zw(A,Q,P)\}\cup \{A,Q\}$	$\ gQ^{+} = \{P| g\cap\overline {PQ} =\{\}\}$
Klasse 2: Menge aller Punkte $P\mathrm{\in }G$, die bezüglich $\ T$ nicht auf der Seite von $\ Q$liegen.
$\ AQ^{-} = \{P| Zw(P,A,Q)\}\cup \{A\}$	$\ gQ^{-} = \{P| g\cap\overline {PQ} =\{S\} \}$

BITTE NOCHMAL ÜBERPRÜFEN --TimoRR 11:31, 22. Jun. 2010 (UTC)

Bemerkungen zu den Analogieüberlegungen --*m.g.* 19:18, 17. Jun. 2010 (UTC)

1. Wird in beiden Fällen wirklich eine Gerade in Klassen eingeteilt? Erhalten wir eine Halbebene dadurch, dass wir eine Gerade in Klassen einteilen? CHECK
2. Dimension: Gemeint ist, welche Dimension das Objekt hat, welches in Klassen bzw. Teilmengen eingeteilt wird. Ein räumliches Objekt, wie etwa ein Würfel hat die Dimension drei, ein Quadrat liegt vollständig in einer Ebene und ist deshalb ein zweidimensionales Objekt. Eine Strecke liegt auf einer Geraden und ist deshalb ein eindimensionales geometrisches Objekt. Wir haben es bei unseren beiden Begriffen Halbgerade und Halbebene einmal mit einem 1D- und einmal mit einem 2D-Begriff zu tun. Den Begriff der Dimension verwenden wir hier intuitiv, ohne ihn definiert zu haben. CHECK
3. Halbgerade: Eine Gerade wird in zwei Halbgeraden eingeteilt. Was für ein Objekt bewirkt diese Einteilung? Eine Halbgerade oder nicht doch eher ein Punkt, der Anfangspunkt der beiden Halbgeraden? Eine Ebene läßt ich auf unendlich viele Arten in genau zwei Halbenen zerlegen. Was für ein Objekt ist verantwortlich dafür, dass wir eine Einteilung in zwei spezielle Halbebenen bekommen? Was ist das Analogon zum Anfangspunkt zweier entgegengesetzter Strahlen bezüglich der Einteilung einer Ebene in zwei Halbebene, deren Vereinigungsmenge wieder die Ausgangebene ergibt? CHECK
4. Die Definitionen zu den beiden Halbgeraden $\ AQ^+$ und $\ AQ^-$ sind korrekt. Die Analogie zum problem der Halbebenen wird aber besser verdeutlich, wenn man diese Definitionen anders formuliert und sich dabei explizit auf die Strecke $\overline{BQ}$ bezieht. Die Idee, Halbgeraden über die Strecke $\overline{PQ}$ zu definieren lag der Übungsaufgabe 7.4 Lösung_von_Aufgabe_7.4 zugrunde. Die Definition habe ich zu Beginn meiner Vorlesung vom 11.06. erläutert.
   Meinen sie wirklich BQ oder PQ, wenn PQ, dann CHECK
5. Die Definition der Halbebenen ist prinzipiell richtig. Nach stillschweigender Konvention kennzeichnen wir jedoch Punkte durch große lateinische Buchstaben. Also nicht $\ gQ^{-}:= \{P| \exists s \,\{s\}=g\cap\overline {PQ} \}$ sondern $\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$ CHECK

Definition IV.1: (offene Halbebene), alte Version

Definition IV.1: (offene Halbebene)

Es sei $\ \Epsilon$ eine Ebene in der die Gerade $\ g$ liegen möge. Ferner sei $\ Q$ ein Punkt der Ebene $\ \Epsilon$, der nicht zur Geraden $\ g$ gehört.
Unter den offenen Halbebenen $\ gQ^{+}$ und $\ gQ^{-}$ bezüglich der Trägergeraden $\ g$ versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene $\ \Epsilon$ ohne die Gerade $\ g$ :

$\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$

$\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$

Kommentar von --*m.g.* 20:51, 23. Jun. 2010 (UTC)

TimoRR und Principella, Sie haben völlig recht. So wie die Sache momentan formuliert ist, ist $\ gQ^-$ die Menge aller Punkte $\ P$, die die Eigenschaft haben, dass die Strecke $\overline{PQ}$ einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden $\ g$ hat. Dieser gemeinsame Punkt existiert insbesondere auch dann, wenn einer der beiden Endpunkte $\ P$ oder $\ Q$ auf $\ g$ liegt. Letzteres schließt die "Präambel" der Definition offene Halbebene aus:
Es sei $\ \Epsilon$ eine Ebene in der die Gerade $\ g$ liegen möge. Ferner sei $\ Q$ ein Punkt der Ebene $\ \Epsilon$, der nicht zur Geraden $\ g$ gehört.

Dem Punkt $\ P$ wurde selbiges nicht verboten. Damit haben Sie recht: Momentan wird die echte Halbebene $\ gQ^-$ definiert, dh. die Trägergerade $\ g$ ist mit dabei.

Sie haben jetzt verschiedene Möglichkeiten dieses zu bereinigen:

1. Sie schreiben das Verbot, dass $\ P$ nicht auf $\ g$ liegen darf in die Präambel der Definition:
   Es sei $\ \Epsilon$ eine Ebene in der die Gerade $\ g$ liegen möge. Ferner sei $\ Q$ ein Punkt der Ebene $\ \Epsilon$, der nicht zur Geraden $\ g$ gehört.
   Unter den offenen Halbebenen $\ gQ^{+}$ und $\ gQ^{-}$ bezüglich der Trägergeraden $\ g$ versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene $\ \Epsilon$ ohne die Gerade $\ g$ : ...
2. Sie behalten die derzeitige Definition $\ gQ^-$ bei, hängen aber einen Zusatz an, der die Gerade $\ g$ wieder raus nimmt:
   $\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}$
3. Sie sprechen das Verbot in der geschweiften Klammer der Mengendefinition aus:
   $\ gQ^{-}:= \{P| P \not\in g \wedge \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$

Definition IV.2: ([geschlossene] Halbebene), alte Version

Definition IV.2: ([geschlossene] Halbebene)

Es sei $\ g$ eine Gerade der Ebene $\ \Epsilon$. $\ gQ^+$ und $\ gQ^-$ seien die beiden offenen Halbebenen von $\ \Epsilon$ bezüglich $\ g$. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von $\ \Epsilon$ bezüglich $\ g$ versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von $\ \Epsilon$ bezüglich der Geraden $\ g$ mit jeweils dieser Geraden $\ g$ entstehen.

$\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}$

$\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$

HI, schau mal, ich hab das abgeändert, aber kann man das so stehen lassen!? also einfach nur g in der Lösungsmenge!? Oder muss das irgendwie mit {P Element von g} oder wie wäre das formal korrekt?--TimoRR 22:04, 21. Jun. 2010 (UTC)

Das müsste so OK sein, die Halbebene gQ+ ist ja die Vereingung genau dieser zwei Punktmengen... Danke :)

Kommentar --*m.g.* 21:34, 23. Jun. 2010 (UTC)

Super, alles korrekt. Der Mathematiker ist voll zufrieden. Der Lehrer auch?

    Der Lehrer ist damit nicht zufrieden, da die Schüler es bestimmt auch nicht sind. 
Allerdings habe ich das Wort Halbebene in meiner gesamten Schullaufbahn nie gebraucht oder 
definiert. Wenn man Halbebene nutzt, würde ich auf eine schriftliche Definition komplett 
verzichten und lieber an ein paar Beispielen (gegebenfalls Gegenbeispiel) eine intuitive 
Vorstellung erzeugen. --Tja??? 13:56, 4. Jul. 2010 (UTC)

allright!? --TimoRR 18:50, 24. Jun. 2010 (UTC)

Vereinigt mit g ist bei gQ- überflüssig, ist doch eh mit dabei... --Principella 18:59, 24. Jun. 2010 (UTC)

Ein Schnittpunkt entsteht bei dem Schnitt von einer Strecken und der Geraden g. Das heißt dann, dass die Menge von Geraden g automatisch dabei ist, wenn g irgendwas schneidet und dabei Schnittpunkte entstehen!? (Sorry, steh grad auf dem Schlauch)--TimoRR 19:23, 24. Jun. 2010 (UTC)

Wenn ich alle Punkte nehme, für die gilt dass wenn ich sie mit Q verbinde ein Schnittpunkt S entsteht, dann habe ich die komplette Halbebene, d.h. auch alle Punkte von g sind mit dabei, denn angenommen P liegt auf g, dann ist ja wieder P=S und es gibt einen Schnittpunkt. Wenn ich diese Menge mit g vereinige ist das nicht schlimm, ich hab ja trotzdem alle Punkte, aber ich brauch sie eigentlich nicht… --Principella 19:40, 24. Jun. 2010 (UTC)

Herzlichen Dank! --TimoRR 20:16, 24. Jun. 2010 (UTC)

Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: $\ g Q^+$, (geschlossene) Halbebene: $\ g Q^+$. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass $\ g Q^+$ bzw. $\ g Q^-$ immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.

--*m.g.* 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)

Beweis des Satzes IV.1, alte Version

Beweis des Satzes IV.1

Voraussetzung: $Q_2 \in {gQ_1}^{+}$
Behauptung: ${gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}$ und ${gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}$

Schritt	Aussage	Begründung
(1)	${gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_1} \} \cup \{g\}$ Die Strecke $\overline {PQ_1}$ schneidet nicht die Trägergerade g.	Definition von Halbebene
(2)	$Q_2 \in {gQ_1}^{+}$ $Q_2$ liegt in der Halbebene ${gQ_1}^{+}$	Voraussetzung
(3)	$P,Q_1,Q_2 \in {gQ_1}^{+}$	Schritt (1) und (2)
(4)	Die Strecke $\overline {PQ_2}$ schneidet nicht die Trägergerade g.	Schritt (3), Definition von Halbebene
(5)	${gQ_2}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}$	Schritt (4)
(6)	Es gilt: ${gQ_2}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}$ und ${gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}$|| Voraussetzung und Schritt (5)
(7)	${gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}$	Der Definitionsbereich der beiden Halbebene ist identisch - Schritt (6)
(8)	${gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}$	Die Mengen ${gQ_1}^{+}$ und ${gQ_1}^{-}$sind disjunkt, gleiches gilt für die Mengen ${gQ_2}^{+}$ und ${gQ_2}^{-}$Schritt (7) - Durch Umformung: Ebene$\Epsilon = {gQ_1}^{+} \cup {gQ_1}^{-} \cup g$ Ebene$\Epsilon = {gQ_2}^{+} \cup {gQ_1}^{-} \cup g$ Da Ebene$\Epsilon = {gQ_2}^{+} \cup {gQ_2}^{-} \cup g$ gilt somit auch ${gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}$

Stimmt das so? --Heinzvaneugen 12:23, 23. Jun. 2010 (UTC)

Also, Punkt (4) ist ja eigentlich das, was Sie zeigen wollen, denn wenn die Strecke $\overline PQ_2$ die Trägergerade g nicht schneidet, dann gilt dies ja für jedes beliebige ${Q_2}$ und das heißt, dass Sie statt ${Q_1}$ auch ${Q_2}$ als Repräsentanten ihrer Halbebene nehmen können. Soweit so gut, allerdings können Sie das nicht einfach aus der Definition der Halbebene schließen, weil sie diesen Zusammenhang ja erst noch zeigen müssen (typischer Fall eines Zirkelschlusses). Sie kommen nicht umhin, das Axiom von Pasch an dieser Stelle mit einzubeziehen! Damit wir Pasch verwenden dürfen, müssen wir allerdings voraussetzen, dass P, ${Q_1}$ und ${Q_2}$ nicht kollinear sind. Der kollineare Fall ist dann nochmal getrennt zu untersuchen, lässt sich dann aber über die Zwischenrelation und über Teilmengenbeziehungen leicht beweisen.--Schnirch 13:59, 23. Jun. 2010 (UTC)