Spickzettel SS 12 Sekundarstufe: Unterschied zwischen den Versionen
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=Beitrag Studierende= | =Beitrag Studierende= | ||
| − | Und natürlich die oben genannten Sätze von M.G.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! | + | Und natürlich die oben genannten Sätze von M.G.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!<br /> |
'''Satz: Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt''' | '''Satz: Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt''' | ||
∃M := IPMI = IMQI M ∈ P¯G | ∃M := IPMI = IMQI M ∈ P¯G | ||
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'''A <=> B''' | '''A <=> B''' | ||
A ist äquivalent zu B | A ist äquivalent zu B | ||
A ist notwendig und hinreichend für B | A ist notwendig und hinreichend für B | ||
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'''A => B''' | '''A => B''' | ||
A ist eine hinreichende Bedingung für B | A ist eine hinreichende Bedingung für B | ||
B ist eine notwendige Bedingung für A | B ist eine notwendige Bedingung für A | ||
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'''Definition Inneres eines Winkels:''' | '''Definition Inneres eines Winkels:''' | ||
I< ASB := SA,B+ ∩ SB,A+ | I< ASB := SA,B+ ∩ SB,A+ | ||
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'''Winkelhalbierenden Kriterium:''' | '''Winkelhalbierenden Kriterium:''' | ||
< ASB | < ASB | ||
P ∊ w <=> lP,SA+l = lP,SB+l | P ∊ w <=> lP,SA+l = lP,SB+l | ||
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'''S''' s W – Satz: Größere Seite => größerem Winkel gegenüber | '''S''' s W – Satz: Größere Seite => größerem Winkel gegenüber | ||
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'''Außenwinkelsatz:''' | '''Außenwinkelsatz:''' | ||
Außenwinkel β´ => β´> α | Außenwinkel β´ => β´> α | ||
β´> γ | β´> γ | ||
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'''Kriterium''': Sei ABC ein | '''Kriterium''': Sei ABC ein | ||
Dreieck mit schulüb. Bez.: | Dreieck mit schulüb. Bez.: | ||
I a l > l b l <=> l α l > l β l | I a l > l b l <=> l α l > l β l | ||
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'''Existenz kann nicht mit Definitionen begründet werden''' | '''Existenz kann nicht mit Definitionen begründet werden''' | ||
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'''Definition Strecke (AB):''' | '''Definition Strecke (AB):''' | ||
A¯B :={ P l Zw(A,P,B) } ∪ {A,B} | A¯B :={ P l Zw(A,P,B) } ∪ {A,B} | ||
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'''Mittelsenkrechten Kriterium:''' | '''Mittelsenkrechten Kriterium:''' | ||
P ∊ m <=> lAPl = lBPl | P ∊ m <=> lAPl = lBPl | ||
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''' | ''' | ||
Definition Halbgerade:''' | Definition Halbgerade:''' | ||
''' | ''' | ||
offene Halbgerade''': A,B ∊ g; A≠B | offene Halbgerade''': A,B ∊ g; A≠B | ||
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AB+ := { P l Zw(A,P,B) v Zw(A,B,P) } ∪ {B} | AB+ := { P l Zw(A,P,B) v Zw(A,B,P) } ∪ {B} | ||
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AB- := { P l Zw(P,A,B) } | AB- := { P l Zw(P,A,B) } | ||
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'''geschloss. Halbgerade: ''' A,B ∊ g; A≠B | '''geschloss. Halbgerade: ''' A,B ∊ g; A≠B | ||
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AB+ := { P l Zw(A,P,B) v Zw(A,B,P) } ∪ {A,B} | AB+ := { P l Zw(A,P,B) v Zw(A,B,P) } ∪ {A,B} | ||
| − | |||
AB- := { P l Zw(P,A,B) }∪ {A} | AB- := { P l Zw(P,A,B) }∪ {A} | ||
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'''Definition Halbebene:''' | '''Definition Halbebene:''' | ||
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'''offene Halbebene:''' Q∉g | '''offene Halbebene:''' Q∉g | ||
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gQ+ := { P l P¯Q ∩ g = ∅ } ∪ {A,B} | gQ+ := { P l P¯Q ∩ g = ∅ } ∪ {A,B} | ||
gQ- := { P l P¯Q ∩g ≠ ∅ } | gQ- := { P l P¯Q ∩g ≠ ∅ } | ||
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'''geschloss. Halbebene:''' Q∉g | '''geschloss. Halbebene:''' Q∉g | ||
gQ+ := { P l P¯Q ∩ g = ∅ } ∪ g | gQ+ := { P l P¯Q ∩ g = ∅ } ∪ g | ||
gQ- := { P l P¯Q ∩ g ≠ ∅ } ∪ g | gQ- := { P l P¯Q ∩ g ≠ ∅ } ∪ g | ||
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'''Beweis: Zw(A,B,C) => A¯B ⊂ A¯C''' | '''Beweis: Zw(A,B,C) => A¯B ⊂ A¯C''' | ||
a) A¯B ist Teilmenge von A¯C | a) A¯B ist Teilmenge von A¯C | ||
b) A¯B ≠ A¯C | b) A¯B ≠ A¯C | ||
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das bedeutet ∀P∊ A¯B : P∊ A¯C | das bedeutet ∀P∊ A¯B : P∊ A¯C | ||
bzw. wenn P∊ A¯B => P∊ A¯C | bzw. wenn P∊ A¯B => P∊ A¯C | ||
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'''Stufenwinkelsatz:''' | '''Stufenwinkelsatz:''' | ||
l α l ≅ l β l => a ll b | l α l ≅ l β l => a ll b | ||
Version vom 23. Juli 2012, 06:57 Uhr
Datei:Dok1.doc habs mal alles auf einem dinA4 blatt zusammengestellt... ob es soviel hilft? schaden kann es sicher nicht(hoffe ich). Im übrigen ohne gewähr. habs aufgrund der späten zeit so übernommen wie es hier steht--LuLu7410 01:00, 23. Jul. 2012 (CEST)
Beitrag M.G.
- Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke
- Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten einer Strecke
- Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten durch einen Punkt
bzgl. einer Geraden 
- Existenz und Eindeutigkeit des Lotes
- Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden
und ganz wichtig:
--*m.g.* 20:11, 22. Jul. 2012 (CEST)
Beitrag Studierende
Und natürlich die oben genannten Sätze von M.G.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Satz: Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt
∃M := IPMI = IMQI M ∈ P¯G
A <=> B
A ist äquivalent zu B
A ist notwendig und hinreichend für B
A => B
A ist eine hinreichende Bedingung für B
B ist eine notwendige Bedingung für A
Definition Inneres eines Winkels:
I< ASB := SA,B+ ∩ SB,A+
Winkelhalbierenden Kriterium:
< ASB
P ∊ w <=> lP,SA+l = lP,SB+l
S s W – Satz: Größere Seite => größerem Winkel gegenüber
(dieser muss gezeigt werden)
Außenwinkelsatz:
Außenwinkel β´ => β´> α
β´> γ
Kriterium: Sei ABC ein
Dreieck mit schulüb. Bez.:
I a l > l b l <=> l α l > l β l
Existenz kann nicht mit Definitionen begründet werden
Definition Strecke (AB):
A¯B :={ P l Zw(A,P,B) } ∪ {A,B}
Mittelsenkrechten Kriterium:
P ∊ m <=> lAPl = lBPl
Definition Halbgerade:
offene Halbgerade: A,B ∊ g; A≠B
AB+ := { P l Zw(A,P,B) v Zw(A,B,P) } ∪ {B}
AB- := { P l Zw(P,A,B) }
geschloss. Halbgerade: A,B ∊ g; A≠B
AB+ := { P l Zw(A,P,B) v Zw(A,B,P) } ∪ {A,B}
AB- := { P l Zw(P,A,B) }∪ {A}
Definition Halbebene:
offene Halbebene: Q∉g
gQ+ := { P l P¯Q ∩ g = ∅ } ∪ {A,B}
gQ- := { P l P¯Q ∩g ≠ ∅ }
geschloss. Halbebene: Q∉g
gQ+ := { P l P¯Q ∩ g = ∅ } ∪ g
gQ- := { P l P¯Q ∩ g ≠ ∅ } ∪ g
Beweis: Zw(A,B,C) => A¯B ⊂ A¯C
a) A¯B ist Teilmenge von A¯C
b) A¯B ≠ A¯C
das bedeutet ∀P∊ A¯B : P∊ A¯C
bzw. wenn P∊ A¯B => P∊ A¯C
Stufenwinkelsatz:
l α l ≅ l β l => a ll b
