Lösung von Aufgabe 8.1: Unterschied zwischen den Versionen
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Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene, die durch die Gerade <math>\ g</math> in die beiden Halbebenen <math> gQ^+</math> und <math>gQ^-</math> eingeteilt wird. Ferner sei <math>\ R</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ gQ^-</math>, der nicht auf der Trägergeraden <math>\ g</math> liegen möge. | Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene, die durch die Gerade <math>\ g</math> in die beiden Halbebenen <math> gQ^+</math> und <math>gQ^-</math> eingeteilt wird. Ferner sei <math>\ R</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ gQ^-</math>, der nicht auf der Trägergeraden <math>\ g</math> liegen möge. | ||
Beweisen Sie: <math>\ gR^+ \equiv gQ^-</math> und <math>\ gR^- \equiv gQ^+ </math> | Beweisen Sie: <math>\ gR^+ \equiv gQ^-</math> und <math>\ gR^- \equiv gQ^+ </math> | ||
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+ | == Lösung == | ||
+ | '''Voraussetzung:''' <math>\ {gQ}^{+}</math> und <math>\ {gQ}^{-}</math> <math>R \in {gQ}^{-} </math> mit <math>R \not \in g </math> | ||
+ | <br />'''Behauptung:''' <math>{gR}^{+} \equiv {gQ}^{-}</math> und <math>{gR}^{-} \equiv {gQ}^{+}</math>, d. h. <br\> | ||
+ | 1) <math>\forall P\in {gQ}^{-} \Rightarrow P\in {gR}^{+}</math> <br\> | ||
+ | 2) <math>\forall P\in {gQ}^{+} \Rightarrow P\in {gR}^{-}</math> <br\> | ||
+ | zu 1)<br\> | ||
+ | {| class="wikitable " | ||
+ | |+ Beweis | ||
+ | ! Nr. | ||
+ | ! Beweisschritt | ||
+ | ! Begründung | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(I) | ||
+ | | <math>\forall P\in {gQ}^{-} \Rightarrow \overline {PQ} \cap g \neq \lbrace \rbrace </math> | ||
+ | | nach Definition Halbebene | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(II) | ||
+ | | <math>\overline {RQ} \cap g \neq \lbrace \rbrace </math> | ||
+ | | nach Voraussetzung und Definition Halbebene | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(III) | ||
+ | | <math>\overline {RP} \cap g = \lbrace \rbrace </math> | ||
+ | | Axiom v. Pasch | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(IV) | ||
+ | | <math>\ P\in {gR}^{+}</math> | ||
+ | | (III) und Definition Halbebene | ||
+ | |- | ||
+ | |} | ||
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+ | zu 2) analog zu 1) |
Version vom 14. Juli 2010, 15:09 Uhr
Es sei eine Ebene, die durch die Gerade in die beiden Halbebenen und eingeteilt wird. Ferner sei ein Punkt der Halbebene , der nicht auf der Trägergeraden liegen möge. Beweisen Sie: und
Lösung
Voraussetzung: und mit
Behauptung: und , d. h.
1)
2)
zu 1)
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | nach Definition Halbebene | |
(II) | nach Voraussetzung und Definition Halbebene | |
(III) | Axiom v. Pasch | |
(IV) | (III) und Definition Halbebene |
zu 2) analog zu 1)