Geradenspiegelungen (2012 13): Unterschied zwischen den Versionen
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==Definition des Begriffs== | ==Definition des Begriffs== | ||
=====Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>)===== | =====Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>)===== | ||
− | ::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade. Unter der Spiegelung <math>\ S_g</math> an der Geraden <math>g</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, | + | ::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade. Unter der Spiegelung <math>\ S_g</math> an der Geraden <math>g</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, für die gilt: <math>\forall P\ \not\in g: g \operatorname{ist Mittelsenkrechte von} \overline{PS_g(P)}</math>. |
− | <math>\forall P\ \not\in g: g \operatorname{ist Mittelsenkrechte von} \overline{PS_g(P)}</math> | + | |
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+ | ======Bemerkung --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 14:46, 13. Nov. 2012 (CET)====== | ||
+ | <math>P \in g</math> müssen wir in der Definition berücksichtigen. | ||
====Beweis von Satz 2.1:==== | ====Beweis von Satz 2.1:==== |
Version vom 13. November 2012, 15:46 Uhr
Ideen zur Heranführung an die GeradenspiegelungIdee der Symmetrie
Verwendung eines halbdurchlässigen Spiegels
FaltenLeider sind meine Bilder von der Qualität her zu schlecht geworden, als dass sie hier veröffentlicht werden könnten. Wer hilft? --*m.g.* 13:04, 27. Okt. 2011 (CEST) Konstruktion des Bildes eines Punktes
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Nr. | Beschreibung des Schrittes | Genauere Beschreibung | Begründung der Korrektheit des Schrittes |
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1. | Lotgerade von P auf g | Fällen des Lotes von P auf die Gerade g | Existenz und Eindeutigkeit des Lotes--Beveggie 17:06, 10. Nov. 2012 (CET) |
2. | Lotfußpunkt L | Einzeichnen des Lotfußpunktes L als Schnittpunkt der Geraden g mit der Lotgeraden von P auf g | Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, des Lotfußpunktes--Beveggie 17:06, 10. Nov. 2012 (CET) |
3. | IPLI auf LP- abtragen, Erhalten von P' | Die Strecke IPLI wird auf dem Strahl LP- abgetragen, dadurch erhält man das Bild von P bei Spiegelung an g nämlich P' | Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom--Beveggie 17:06, 10. Nov. 2012 (CET) |
Bemerkung zum Nachweis der Korrektheit des jeweiligen Schrittes: Gemeint ist eine Begründung, aus der hervorgeht, dass der jeweilige Schritt (ggf. eindeutig) ausführbar ist.
Definition des Begriffs
Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden
)
- Es sei
eine Gerade. Unter der Spiegelung
an der Geraden
versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, für die gilt:
.
- Es sei
Bemerkung --*m.g.* 14:46, 13. Nov. 2012 (CET)
müssen wir in der Definition berücksichtigen.
Beweis von Satz 2.1:
Es seien ,
zwei Punkte, die an einer Geraden
auf ihre Bilder
und
gespiegelt werden.
Wir unterscheiden drei Fälle:
--Jessy* 09:02, 7. Nov. 2012 (CET): Müsste man nicht jedesmal noch unterscheiden ob koll(B,A,B') oder nkoll(B,A,B') gilt?
Fall 1
Beweis:
Fall 2
,
Beweis:
Fall 3
,
und
liegen in derselben Halbebene bezüglich
Beweis:
--Jessy* 09:35, 7. Nov. 2012 (CET)
Fall 4
,
und
liegen in verschiedenen Halbebenen bezüglich
--Jessy* 09:19, 7. Nov. 2012 (CET)
Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen
Bestimmung über die Spiegelgerade
Unmittelbar einsichtig ist der folgende Satz:
Satz 2.2
- Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt.
- Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt.
Satz 2.3
- Eine Geradenspiegelung
ist durch die Angabe eines Punktes
und dem Bild von
eindeutig bestimmt, falls
gilt.
- Eine Geradenspiegelung