Serie 03 12 13: Unterschied zwischen den Versionen
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Es seien <math>R \in \mathbb{N}</math> und <math>r \in \mathbb{N}</math> die Radien des großen, festen bzw. des kleinen abrollenden Kreises. Berechnen Sie, nach wieviel Umdrehungen des kleinen Kreises um seinen Mittelpunkt die entsprechende Hypozykloide geschlossen ist. | Es seien <math>R \in \mathbb{N}</math> und <math>r \in \mathbb{N}</math> die Radien des großen, festen bzw. des kleinen abrollenden Kreises. Berechnen Sie, nach wieviel Umdrehungen des kleinen Kreises um seinen Mittelpunkt die entsprechende Hypozykloide geschlossen ist. | ||
=Aufgabe 3.3= | =Aufgabe 3.3= | ||
− | + | Es sei <math>P</math> eine Punktmasse, die sich in der Ebene <math>\varepsilon</math> gleichförmig auf einer Kreisbahn mit dem Radius <math>r</math> um den Punkt <math>M \in \varepsilon</math> bewegt. Es gilt <math>\omega = \frac{|\varphi|}{t}</math>. Unter <math>\omega</math> versteht man die Winkelgeschwindigkeit dieser Bewegung, wobei <math>|\varphi|</math> die Größe des überstrichenen Winkels und <math>t</math> die dafür benötigte Zeit in Sekunden ist. <math>P</math> möge sich mit einer Frequenz von 50 Umdrehungen pro Sekunde bewegen. Geben Sie eine Parameterdarstellung für den Kreis an, auf dem sich <math>P</math> bewegt. Verwenden Sie als Parameter die Zeit <math>t</math>. | |
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=Aufgabe 3.4= | =Aufgabe 3.4= |
Version vom 14. November 2012, 19:44 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Aufgabe 3.1
Astroiden sind spezielle Hypozykloiden:
(a) Was muss für (Radius des großen, festen Kreises),
(Radius des abrollenden kleinen Kreises) und
(Abstand des beschreibenden Punktes zum Mittelpunkt
des abrollenden Kreises) gelten, damit eine Astroide entsteht?
(b) Geben Sie eine Parameterdarstellung der Kurve an, auf der sich der Mittelpunkt des abrollden Kreises bewegt. Verwenden Sie als Parameter den Winkel
, dessen Schenkel die positive
Achse und der Strahl
sind.
(c) Wir stellen uns vor, dass mit dem abrollenden Kreis ein kartesisches Koordinatensystem derart mitgeführt wird, dass die Achsen von
immer parallel zu den entsprechenden Achsen des globalen Koordinatensystems sind. Der Ursprung von
sei
:
Geben Sie eine Parameterdarstellung der Kurve an, die der Punkt bezüglich
beschreibt. Verwenden Sie als Parameter die Bogenlänge
die der kleine Kreis auf dem großen Kreis abgerollt ist.
(d) Drücken Sie mittels
aus.
(e) Geben Sie eine Parameterdarstellung für die Astroide an.
(f*) Geben Sie eine Parameterdarstellung für beliebige Hypozykloiden an.
Aufgabe 3.2
Es seien und
die Radien des großen, festen bzw. des kleinen abrollenden Kreises. Berechnen Sie, nach wieviel Umdrehungen des kleinen Kreises um seinen Mittelpunkt die entsprechende Hypozykloide geschlossen ist.
Aufgabe 3.3
Es sei eine Punktmasse, die sich in der Ebene
gleichförmig auf einer Kreisbahn mit dem Radius
um den Punkt
bewegt. Es gilt
. Unter
versteht man die Winkelgeschwindigkeit dieser Bewegung, wobei
die Größe des überstrichenen Winkels und
die dafür benötigte Zeit in Sekunden ist.
möge sich mit einer Frequenz von 50 Umdrehungen pro Sekunde bewegen. Geben Sie eine Parameterdarstellung für den Kreis an, auf dem sich
bewegt. Verwenden Sie als Parameter die Zeit
.