Serie 03 12 13

Parameterdarstellungen Aufgabe 3.1 Astroiden sind spezielle Hypozykloiden: (a) Was muss für $R$ (Radius des großen, festen Kreises), $r$ (Radius des abrollenden kleinen Kreises) und $d$ (Abstand des beschreibenden Punktes zum Mittelpunkt $M_k$ des abrollenden Kreises) gelten, damit eine Astroide entsteht? (b) Geben Sie eine Parameterdarstellung der Kurve an, auf der sich $M_k$ der Mittelpunkt des abrollden Kreises bewegt. Verwenden Sie als Parameter den Winkel $\varphi$, dessen Schenkel die positive $x-$Achse und der Strahl $MM_k^+$ sind. (c) Wir stellen uns vor, dass mit dem abrollenden Kreis ein kartesisches Koordinatensystem $KS'$derart mitgeführt wird, dass die Achsen von $KS'$ immer parallel zu den entsprechenden Achsen des globalen Koordinatensystems sind. Der Ursprung von $KS'$ sei $M_k$: Geben Sie eine Parameterdarstellung der Kurve an, die der Punkt $P$ bezüglich $KS'$ beschreibt. Verwenden Sie als Parameter die Bogenlänge $\psi$die der kleine Kreis auf dem großen Kreis abgerollt ist. (d) Drücken Sie $\psi$ mittels $\varphi$ aus. (e) Geben Sie eine Parameterdarstellung für die Astroide $a$ an. (f*) Geben Sie eine Parameterdarstellung für beliebige Hypozykloiden an. Aufgabe 3.1 - Lösung Ich habe versucht die Lösung der Aufgabe zusammenhängend darzustellen. Es wäre toll wenn mir jemand sagen könnte, ob das so stimmt --Jessy* 15:24, 11. Dez. 2012 (CET) Aufgabe 3.2 Es seien $R \in \mathbb{N}$ und $r \in \mathbb{N}$ die Radien des großen, festen bzw. des kleinen abrollenden Kreises. Berechnen Sie, nach wieviel Umdrehungen des kleinen Kreises um seinen Mittelpunkt die entsprechende Hypozykloide geschlossen ist. Aufgabe 3.2 - Lösung Zunächst ist es wichtig zu wissen, dass man von einer geschlossenen Hypozykloide spricht, sobald der Punkt, dessen Position beim Abrollen die Hypozykloide beschreibt, wieder auf seiner Startposition ist. Es sei $U_g$ der Umfang des großen Kreises und $U_k$ der Umfang des kleinen Kreises. Es gilt: $U_g=2\pi R$ und $U_k=2\pi r$ mit $R \in \mathbb{N}$ und $r \in \mathbb{N}$ $mU_g=nU_k$ mit $m \in \mathbb{N}$ und $n \in \mathbb{N}$ $m2\pi R=n2\pi r$ $mR=nr$ Das kgV(R,r) gibt also die Anzahl der benötigten Umdrehungen an. --Jessy* 16:59, 11. Dez. 2012 (CET) Aufgabe 3.3 Es sei $P$ eine Punktmasse, die sich in der Ebene $\varepsilon$ gleichförmig auf einer Kreisbahn mit dem Radius $r$ um den Punkt $M \in \varepsilon$ bewegt. Es gilt $\omega = \frac{|\varphi|}{t}$. Unter $\omega$ versteht man die Winkelgeschwindigkeit dieser Bewegung, wobei $|\varphi|$ die Größe des überstrichenen Winkels und $t$ die dafür benötigte Zeit in Sekunden ist. $P$ möge sich mit einer Frequenz von 50 Umdrehungen pro Sekunde bewegen. Geben Sie eine Parameterdarstellung für den Kreis an, auf dem sich $P$ bewegt. Verwenden Sie als Parameter die Zeit $t$. gerichtete Größen, Vektoren Aufgabe 3.4 Warum gelten gleichförmige Kreisbewegungen als beschleunigte Bewegungen?