Version vom 28. November 2012, 11:53 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Parameterdarstellungen
2 gerichtete Größen, Vektoren
- 2.1 Aufgabe 3.4

Parameterdarstellungen

Aufgabe 3.1

Astroiden sind spezielle Hypozykloiden:

(a) Was muss für $R$ (Radius des großen, festen Kreises), $r$ (Radius des abrollenden kleinen Kreises) und $d$ (Abstand des beschreibenden Punktes zum Mittelpunkt $M_k$ des abrollenden Kreises) gelten, damit eine Astroide entsteht?

(b) Geben Sie eine Parameterdarstellung der Kurve an, auf der sich $M_k$ der Mittelpunkt des abrollden Kreises bewegt. Verwenden Sie als Parameter den Winkel $\varphi$ , dessen Schenkel die positive $x-$ Achse und der Strahl $MM_k^+$ sind.

(c) Wir stellen uns vor, dass mit dem abrollenden Kreis ein kartesisches Koordinatensystem $KS'$ derart mitgeführt wird, dass die Achsen von $KS'$ immer parallel zu den entsprechenden Achsen des globalen Koordinatensystems sind. Der Ursprung von $KS'$ sei $M_k$ :

Geben Sie eine Parameterdarstellung der Kurve an, die der Punkt $P$ bezüglich $KS'$ beschreibt. Verwenden Sie als Parameter die Bogenlänge $\psi$ die der kleine Kreis auf dem großen Kreis abgerollt ist.

(d) Drücken Sie $\psi$ mittels $\varphi$ aus.

(e) Geben Sie eine Parameterdarstellung für die Astroide $a$ an.

(f*) Geben Sie eine Parameterdarstellung für beliebige Hypozykloiden an.

Aufgabe 3.2

Es seien $R \in \mathbb{N}$ und $r \in \mathbb{N}$ die Radien des großen, festen bzw. des kleinen abrollenden Kreises. Berechnen Sie, nach wieviel Umdrehungen des kleinen Kreises um seinen Mittelpunkt die entsprechende Hypozykloide geschlossen ist.

Aufgabe 3.3

Es sei $P$ eine Punktmasse, die sich in der Ebene $\varepsilon$ gleichförmig auf einer Kreisbahn mit dem Radius $r$ um den Punkt $M \in \varepsilon$ bewegt. Es gilt $\omega = \frac{|\varphi|}{t}$ . Unter $\omega$ versteht man die Winkelgeschwindigkeit dieser Bewegung, wobei $|\varphi|$ die Größe des überstrichenen Winkels und $t$ die dafür benötigte Zeit in Sekunden ist. $P$ möge sich mit einer Frequenz von 50 Umdrehungen pro Sekunde bewegen. Geben Sie eine Parameterdarstellung für den Kreis an, auf dem sich $P$ bewegt. Verwenden Sie als Parameter die Zeit $t$ .

gerichtete Größen, Vektoren

Aufgabe 3.4

Warum gelten gleichförmige Kreisbewegungen als beschleunigte Bewegungen?

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 (a) Was muss für <math>R</math> (Radius des großen, festen Kreises), <math>r</math> (Radius des abrollenden kleinen Kreises) und <math>d</math> (Abstand des beschreibenden Punktes zum Mittelpunkt <math>M_k</math> des abrollenden Kreises) gelten, damit eine Astroide entsteht?<br /><br />
---[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 11:40, 28. Nov. 2012 (CET) Frage: Ist mit d tatsächlich der Abstand <math>|PM_k|</math> gemeint oder so wie d in der Übung interpretiert wurde: <math>|MM_k|</math>???<br /><br /><br /><br />
 (b) Geben Sie eine Parameterdarstellung der Kurve an, auf der sich <math>M_k</math> der Mittelpunkt des abrollden Kreises bewegt. Verwenden Sie als Parameter den Winkel <math>\varphi</math>, dessen Schenkel die positive <math>x-</math>Achse und der Strahl <math>MM_k^+</math> sind.<br /><br />
 (c) Wir stellen uns vor, dass mit dem abrollenden Kreis ein kartesisches Koordinatensystem <math>KS'</math>derart mitgeführt wird, dass die Achsen von <math>KS'</math> immer parallel zu den entsprechenden Achsen des globalen Koordinatensystems sind. Der Ursprung von <math>KS'</math> sei <math>M_k</math>:<br /><br />

Serie 03 12 13: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 28. November 2012, 11:53 Uhr

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Parameterdarstellungen

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Aufgabe 3.2

Aufgabe 3.3

gerichtete Größen, Vektoren

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