Serie 03 12 13: Unterschied zwischen den Versionen
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(a) Was muss für <math>R</math> (Radius des großen, festen Kreises), <math>r</math> (Radius des abrollenden kleinen Kreises) und <math>d</math> (Abstand des beschreibenden Punktes zum Mittelpunkt <math>M_k</math> des abrollenden Kreises) gelten, damit eine Astroide entsteht?<br /><br /> | (a) Was muss für <math>R</math> (Radius des großen, festen Kreises), <math>r</math> (Radius des abrollenden kleinen Kreises) und <math>d</math> (Abstand des beschreibenden Punktes zum Mittelpunkt <math>M_k</math> des abrollenden Kreises) gelten, damit eine Astroide entsteht?<br /><br /> | ||
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(b) Geben Sie eine Parameterdarstellung der Kurve an, auf der sich <math>M_k</math> der Mittelpunkt des abrollden Kreises bewegt. Verwenden Sie als Parameter den Winkel <math>\varphi</math>, dessen Schenkel die positive <math>x-</math>Achse und der Strahl <math>MM_k^+</math> sind.<br /><br /> | (b) Geben Sie eine Parameterdarstellung der Kurve an, auf der sich <math>M_k</math> der Mittelpunkt des abrollden Kreises bewegt. Verwenden Sie als Parameter den Winkel <math>\varphi</math>, dessen Schenkel die positive <math>x-</math>Achse und der Strahl <math>MM_k^+</math> sind.<br /><br /> | ||
(c) Wir stellen uns vor, dass mit dem abrollenden Kreis ein kartesisches Koordinatensystem <math>KS'</math>derart mitgeführt wird, dass die Achsen von <math>KS'</math> immer parallel zu den entsprechenden Achsen des globalen Koordinatensystems sind. Der Ursprung von <math>KS'</math> sei <math>M_k</math>:<br /><br /> | (c) Wir stellen uns vor, dass mit dem abrollenden Kreis ein kartesisches Koordinatensystem <math>KS'</math>derart mitgeführt wird, dass die Achsen von <math>KS'</math> immer parallel zu den entsprechenden Achsen des globalen Koordinatensystems sind. Der Ursprung von <math>KS'</math> sei <math>M_k</math>:<br /><br /> |
Version vom 28. November 2012, 12:53 Uhr
ParameterdarstellungenAufgabe 3.1Astroiden sind spezielle Hypozykloiden: (a) Was muss für (Radius des großen, festen Kreises), (Radius des abrollenden kleinen Kreises) und (Abstand des beschreibenden Punktes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises) gelten, damit eine Astroide entsteht? Geben Sie eine Parameterdarstellung der Kurve an, die der Punkt bezüglich beschreibt. Verwenden Sie als Parameter die Bogenlänge die der kleine Kreis auf dem großen Kreis abgerollt ist. Aufgabe 3.2Es seien und die Radien des großen, festen bzw. des kleinen abrollenden Kreises. Berechnen Sie, nach wieviel Umdrehungen des kleinen Kreises um seinen Mittelpunkt die entsprechende Hypozykloide geschlossen ist. Aufgabe 3.3Es sei eine Punktmasse, die sich in der Ebene gleichförmig auf einer Kreisbahn mit dem Radius um den Punkt bewegt. Es gilt . Unter versteht man die Winkelgeschwindigkeit dieser Bewegung, wobei die Größe des überstrichenen Winkels und die dafür benötigte Zeit in Sekunden ist. möge sich mit einer Frequenz von 50 Umdrehungen pro Sekunde bewegen. Geben Sie eine Parameterdarstellung für den Kreis an, auf dem sich bewegt. Verwenden Sie als Parameter die Zeit . gerichtete Größen, VektorenAufgabe 3.4Warum gelten gleichförmige Kreisbewegungen als beschleunigte Bewegungen? |