Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13: Unterschied zwischen den Versionen
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Man beweise: <math>\varphi</math> ist lineare Abbildung<br /><br /> | Man beweise: <math>\varphi</math> ist lineare Abbildung<br /><br /> | ||
==Drehung== | ==Drehung== | ||
− | Drehung der kanonischen Basisvektoren<br /> | + | <u>Drehung der kanonischen Basisvektoren</u><br /> |
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix}</math><br /><br /> | <math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix}</math><br /><br /> | ||
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math><br /><br /> | <math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math><br /><br /> | ||
+ | [[Bild:Drehung_kanonische_Basis.JPG|300px]]<br /><br /> | ||
+ | <u>Drehung anderer Vektoren</u><br /> | ||
+ | <math> \vec{x} \rightarrow \varphi( \vec{x'} )</math><br /><br /> | ||
+ | <math> \vec{x} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} \rightarrow \varphi( \vec{x'}) = \varphi ( \lambda \vec{i}) + \varphi( \mu \vec{j}) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math><br /><br /> | ||
+ | Bsp.: <math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0,5 \end{pmatrix} </math> wird an O um <math> \alpah </math> gedreht.<br /> | ||
+ | <math> \vec{OP} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} \rightarrow \varphi( \vec{OP'}) = \varphi ( \lambda \vec{i}) + \varphi( \mu \vec{j}) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix} \rightarrow 2 \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + 0,5 \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math><br /><br /> | ||
+ | <math> \vec{OP'} = \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2cos \alpha -0,5sin \alpha\\ 2sin \alpha + 0,5cos \alpha \end{pmatrix}</math><br /><br /> | ||
<u>Drehungsmatrix:</u><br /> | <u>Drehungsmatrix:</u><br /> | ||
<math>\begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /> | <math>\begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /> |