Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13: Unterschied zwischen den Versionen
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(A) <math> \varphi </math> ist additiv<br /><br /> | (A) <math> \varphi </math> ist additiv<br /><br /> | ||
Beweis zum Homomorphismus:<br /> | Beweis zum Homomorphismus:<br /> | ||
+ | <math> \varphi ( \lambda \cdot \vec{x}) = | ||
+ | \varphi \begin{pmatrix} \lambda \cdot x_1 \\ \lambda \cdot x_2 \end{pmatrix}= | ||
+ | \begin{pmatrix} \lambda \cdot x_1 \cdot cos \alpha -( \lambda \cdot x_2) \cdot sin \alpha\\ \lambda \cdot x_1 \cdot sin \alpha + \lambda \cdot x_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} = | ||
+ | \begin{pmatrix} \lambda \cdot (x_1 \cdot cos \alpha - x_2 \cdot sin \alpha) \\ \lambda \cdot (x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha) \end{pmatrix} = | ||
+ | \lambda \cdot \begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha - x_2 \cdot sin \alpha \\ x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} = | ||
+ | \lambda \cdot \varphi ( \vec{x}) | ||
+ | </math><br /><br /> | ||
+ | Beweis zur Additivität:<br /> | ||
<math> \varphi ( \vec{x} + \vec{y}) = | <math> \varphi ( \vec{x} + \vec{y}) = | ||
\varphi \begin{pmatrix} x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \end{pmatrix} = | \varphi \begin{pmatrix} x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \end{pmatrix} = |