Lösung von Aufgabe 5.04 S SoSe 13: Unterschied zwischen den Versionen

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<math>\Rightarrow</math>  <math>\ A = B  \vee  A = C \vee B = C </math>  
 
<math>\Rightarrow</math>  <math>\ A = B  \vee  A = C \vee B = C </math>  
  
−
1. Fall: A = B = C <math>\Rightarrow</math> Widerspruch zu Axiom I/2
+
1. Fall: A = B = C trivial.
−
                  <math>\Rightarrow</math> nkoll(A,B,C)
+
−
                  <math>\Rightarrow</math> Widerspruch zur Voraussetzung
+
  
 
2. Fall: nur zwei der drei Punkte sind identisch (o.B.d.A. A = B <math>\neq</math> C)
 
2. Fall: nur zwei der drei Punkte sind identisch (o.B.d.A. A = B <math>\neq</math> C)
  
−
<math>\Rightarrow</math> (Axiom I/2) <math>\exists</math>Gerade g: A <math>\in</math> g <math>\wedge</math> C <math>\in</math> g (Gerade {A,C})
+
<math>\Rightarrow</math> (Axiom I/2) <math>\exists</math>Gerade g: A <math>\in</math> g <math>\wedge</math> C <math>\in</math> g (Gerade {A,C}) und  <math>\exists</math>Gerade h: B <math>\in</math> h <math>\wedge</math> C <math>\in</math> h (Gerade {B,C})
−
            <math>\exists</math>Gerade h: B <math>\in</math> h <math>\wedge</math> C <math>\in</math> h (Gerade {B,C})
+
  
−
            Da wir A = B angenommen haben, folgt daraus g = h. Das ist aber ein Widerspruch zu Axiom I.1.
+
Da wir A = B angenommen haben, folgt daraus g = h. <math>\Rightarrow</math> koll(A,B,C) <math>\Rightarrow</math> Widerspruch zur Voraussetzung.  q.e.d.
  
 
--[[Benutzer:Illu13|Illu13]] 21:48, 30. Mai 2013 (CEST)
 
--[[Benutzer:Illu13|Illu13]] 21:48, 30. Mai 2013 (CEST)

Version vom 30. Mai 2013, 21:03 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 5.04

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

  1. Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit
    „Es seien A, B und C drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn A,B und C … , dann … .“
  2. Beweisen Sie Satz I indirekt mit Widerspruch.
  3. Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
  4. Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
  5. Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
  6. Gilt auch die Umkehrung von Satz I?



Lösung User --Userin24 20:37, 28. Mai 2013 (CEST)

1. Es seien A, B und C drei Punkte. Wenn A, B und C nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden.

2. Annahme: A, B und C sind nicht paarweise verschieden

Annahme impliziert: mind. 2 Punkte sind identisch

Widerspruch zur Voraussetzung, dass A, B und C kollinear sind

3. Wenn A, B und C kollinear sind, dann sind sie nicht paarweise verschieden.

4. koll(A, B, C) impliziert: es gibt eine Gerade g, mit der alle drei Punkte inzidieren

A, B und C sind deshalb nicht paarweise verschieden.

5. A, B und C sind paarweise verschieden, wenn sie nicht kollinear sind.

6. Ja

--Userin24 20:37, 28. Mai 2013 (CEST)

Bemerkung --*m.g.* 23:12, 28. Mai 2013 (CEST)

1. korrekt
2. Der Ansatz geht in Ordnung, es bedarf einer genaueren Begründung.
3. korrekt
4. wie bei 2.
5. Das ist nicht die Umkehrung.(auch wenn es zunächst so aussieht)
6. Folgefehler, da 5. nicht korrekt gelöst.

Lösung User ...

zu 2.

Annahme: Drei Punkte A,B,C sind nicht paarweise verschieden.

\Rightarrow \ A = B \vee A = C \vee B = C

1. Fall: A = B = C trivial.

2. Fall: nur zwei der drei Punkte sind identisch (o.B.d.A. A = B \neq C)

\Rightarrow (Axiom I/2) \existsGerade g: A \in g \wedge C \in g (Gerade {A,C}) und \existsGerade h: B \in h \wedge C \in h (Gerade {B,C})

Da wir A = B angenommen haben, folgt daraus g = h. \Rightarrow koll(A,B,C) \Rightarrow Widerspruch zur Voraussetzung. q.e.d.

--Illu13 21:48, 30. Mai 2013 (CEST)

Lösung User ...

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